[논문 리뷰] Differential Rigidity of Anosov Actions of Higher Rank Abelian Groups and Algebraic Lattice Actions

A. Katok, Ralf Spatzier|arXiv (Cornell University)|1997. 04. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 34인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 높은 랭크 아벨 군의 아노소프 작용과 컴acts 매니폴드 위의 대칭군 작용에 대해 $C^\infty$-국소적 강성($C^\infty$-local rigidity)을 입증하며, 비정상적인 정규형 이론의 새로운 이론을 사용한다. 이는 이러한 작용이 소규모 $C^\infty$-변형과 매끄럽게 동형임을 증명하며, 토르스와 닐만이드의 자기동형사상, 프로젝티브 공간 포함 푸르스텐베르크 경계 위의 작용에 대한 오랫동안 남아있던 강성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We show that most homogeneous Anosov actions of higher rank Abelian groups are locally smoothly rigid (up to an automorphism). This result is the main part in the proof of local smooth rigidity for two very different types of algebraic actions of irreducible lattices in higher rank semisimple Lie groups: (i) the Anosov actions by automorphisms of tori and nil-manifolds, and (ii) the actions of cocompact lattices on Furstenberg boundaries, in particular, projective spaces. The main new technical ingredient in the proofs is the use of a proper "non-stationary" generalization of the classical theory of normal forms for local contractions.

연구 동기 및 목표

• 높은 랭크 아벨 군의 작용이 컴팩트 매니폴드 위에서 $C^\infty$-국소적 강성을 확립한다.
• 특히 토르스와 닐만이드의 자기동형사상에 대해 강성 결과를 대칭군 작용으로 확장한다.
• 이전 방법이 실패한 프로젝티브 공간 포함 푸르스텐베르크 경계 위의 코컴팩트 격자 작용을 분석한다.
• 높은 랭크 동역학에서 비균일한 하이퍼볼리시티를 다룰 수 있도록 고전적 정규형 이론의 비정상적 일반화를 개발한다.
• 소규모 $C^\infty$-변형 하에서 이러한 작용의 궤도 분할이 매끄럽게 동치임을 증명한다.

제안 방법

• 높은 랭크 아벨 작용에서 비균일한 하이퍼볼리시티를 다룰 수 있도록, 국소 수축에 대한 고전적 정규형 이론의 비정상적 일반화를 도입한다.
• 동형 공간 위의 궤도 분할의 변형을 분석하기 위해 약한 불안정 분할의 호로노미 표현을 사용한다.
• $\mathcal{W}^+$ 및 $\mathcal{W}^-$ 분할의 $C^1$-소규모 변형을 통해 호로노미 작용의 $C^1$-소규모 변형을 구성한다.
• 정리 7을 적용하여 변형된 분할과 원래 분할 사이에 $C^1$-근접한 $C^\infty$-궤도 동치를 확보한다.
• $\mathcal{W}^+$ 및 $\mathcal{W}^-$에 $C^1$-근접한 유일한 $c$-불변 분할의 성질을 활용하여, 호로노미 작용의 $C^\infty$-동형을 도출한다.
• $G/P$ 위에서 $\mathcal{W}^+$의 호로노미 표현이 $\gamma \in \Gamma$에 의한 오른쪽 곱셈으로 주어짐을 식별함으로써, 변형에 대한 대수적 제어를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 랭크 아벨 군의 작용이 컴팩트 매니폴드 위에서 $C^\infty$-국소적 강성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 토르스와 닐만이드 위에서 불가약 격자 작용의 아노소프 작용은 소규모 $C^\infty$-변형 하에서 매끄럽게 강성을 갖는가?
• RQ3 이전 기법이 실패한 프로젝티브 공간 포함 푸르스텐베르크 경계 위의 작용으로 강성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 비정상적 정규형 이론은 높은 랭크 작용에서 비균일한 하이퍼볼리시티를 충분히 제어할 수 있는가?
• RQ5 높은 랭크 아벨 군 작용의 궤도 분할은 소규모 $C^1$-변형에 대해 항상 $C^\infty$-궤도 동치인가?

주요 결과

• 높은 랭크 아벨 군의 대부분의 동형 아노소프 작용은 자동형사상에 대해 국소적으로 $C^\infty$-강성을 갖는다.
• 불가약 격자가 토르스 또는 닐만이드 위에서 자동형사상으로 작용하는 경우, 이는 $C^\infty$-국소적 강성을 갖는다.
• 코컴팩트 격자가 푸르스텐베르크 경계(프로젝티브 공간 포함) 위에서 작용하는 경우, 이는 $C^\infty$-국소적 강성을 갖는다.
• $G/P$ 위에서 약한 불안정 분할 $\mathcal{W}^+$의 호로노미 표현은 $\gamma \in \Gamma$에 의한 오른쪽 곱셈으로 주어지며, 이는 변형에 대한 정밀한 제어를 가능하게 한다.
• 호로노미 작용의 $C^1$-소규모 변형은 $\mathcal{W}^+$ 및 $\mathcal{W}^-$ 분할의 $C^1$-소규모 변형을 유도하며, 이는 $C^1$-근접 미분동형사를 통해 원래 분할과 $C^\infty$-궤도 동치임을 보여준다.
• $\mathcal{W}^+$ 및 $\mathcal{W}^-$에 $C^1$-근접한 유일한 $c$-불변 분할은 변형된 분할이 원래 분할과 $C^\infty$-궤도 동치임을 강제하며, 이는 호로노미 작용의 $C^\infty$-동형을 증명한다.