[논문 리뷰] Differentially Private Approximations of a Convex Hull in Low Dimensions

Yue Gao, Or Sheffet|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 16.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 41인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 저차원 유클리드 공간에서 볼록껍데기의 핵심 기하적 특징—직경, 폭, 부피, 최소 외접 상자—를 근사하기 위한 최초의 미분적 비밀보장 알고리즘을 제시한다. Tukey 깊이를 활용하고 새로운 이중 기준 근사 프레임워크를 도입함으로써, 저자들은 pα,∆)-커널을 설계하여 다중성 및 깊이 기반 오차 한계 내에서 이러한 특징을 비밀보장적으로 추정한다. 이는 개인정보 보호를 확보하면서도 기하학적 유용성을 유지한다.

ABSTRACT

We give the first differentially private algorithms that estimate a variety of geometric features of points in the Euclidean space, such as diameter, width, volume of convex hull, min-bounding box, min-enclosing ball etc. Our work relies heavily on the notion of \emph{Tukey-depth}. Instead of (non-privately) approximating the convex-hull of the given set of points $P$, our algorithms approximate the geometric features of the $κ$-Tukey region induced by $P$ (all points of Tukey-depth $κ$ or greater). Moreover, our approximations are all bi-criteria: for any geometric feature $μ$ our $(α,Δ)$-approximation is a value "sandwiched" between $(1-α)μ(D_P(κ))$ and $(1+α)μ(D_P(κ-Δ))$. Our work is aimed at producing a \emph{$(α,Δ)$-kernel of $D_P(κ)$}, namely a set $\mathcal{S}$ such that (after a shift) it holds that $(1-α)D_P(κ)\subset \mathsf{CH}(\mathcal{S}) \subset (1+α)D_P(κ-Δ)$. We show that an analogous notion of a bi-critera approximation of a directional kernel, as originally proposed by Agarwal et al~[2004], \emph{fails} to give a kernel, and so we result to subtler notions of approximations of projections that do yield a kernel. First, we give differentially private algorithms that find $(α,Δ)$-kernels for a "fat" Tukey-region. Then, based on a private approximation of the min-bounding box, we find a transformation that does turn $D_P(κ)$ into a "fat" region \emph{but only if} its volume is proportional to the volume of $D_P(κ-Δ)$. Lastly, we give a novel private algorithm that finds a depth parameter $κ$ for which the volume of $D_P(κ)$ is comparable to $D_P(κ-Δ)$. We hope this work leads to the further study of the intersection of differential privacy and computational geometry.

연구 동기 및 목표

• 저차원 데이터셋의 기본 기하적 특징—예를 들어 볼록껍데기의 직경, 폭, 부피—에 대한 미분적 비밀보장 알고리즘이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 개별 데이터 포인트에 민감도가 높은 기하 측정치는 일반적으로 비밀보장을 위반하므로, 이를 신중히 관리하지 않으면 안 된다는 점을 해결하기 위해.
• i.i.d. 데이터 샘플링에 대해 일반화 가능한 비밀보장 근사 프레임워크를 개발하기 위해, 기하학적 구조의 강력한 저민감도 대체 측정치로 Tukey 깊이를 사용하기 위해.
• pα,∆)-커널—비밀보장적이고 압축된 집합 S—을 구성하여, 이동 후 (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆)를 만족함으로써, 비밀보장 하에 기하학적 유용성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 데이터셋 P에 대한 Tukey 깊이가 적어도 κ 이상인 점들의 집합으로 κ-Tukey 영역 DP(κ)를 정의한다. 이는 볼록 다각체를 이룬다.
• 각 데이터 포인트 추가/제거 시 최대 1만큼만 변화하는 Tukey 깊이의 저민감도를 활용하여, 미분적 비밀보장 계산을 가능하게 한다.
• 이중 기준 근사 도입: 기하 측정치 µ에 대한 pα,∆)-근사란 (1−α)µ(DP(κ))와 (1+α)µ(DP(κ−∆)) 사이에 놓인 값을 의미한다.
• CH(S)가 (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆)를 만족하도록 pα,∆)-커널 S를 구성함으로써, 비밀보장 하에 기하학적 유용성을 확보한다.
• 최소 외접 상자를 추정하기 위해 비밀보장 알고리즘을 적용하고, 좌표 스케일링을 통해 영역을 '지글지글한' Tukey 영역으로 변환한다.
• 새로운 비밀보장 깊이 추정 알고리즘을 사용하여 vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆))가 되는 깊이 매개변수 κ를 찾음으로써, 영역이 처음부터 지글지글하지 않더라도 효과적인 커널 구성이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저차원에서 볼록껍데기의 직경, 폭, 부피 등의 기하적 특징을 근사하기 위한 미분적 비밀보장 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 다중성 인자와 더 얕은 깊이 영역에 의해 동시에 제약을 받는 이중 기준 근사가 미분적 비밀보장 하에서 어떻게 구성될 수 있는가?
• RQ3 Tukey 영역을 '지글지글한' 영역(더 얕은 영역에 비례하는 부피를 가짐)으로 비밀보장적으로 변환하여 효율적인 커널 구성이 가능한가?
• RQ4 비밀보장 알고리즘이 vol(DP(κ))가 vol(DP(κ−∆))와 유사한 깊이 매개변수 κ를 식별할 수 있는가? 이는 안정적인 근사화를 가능하게 한다.

주요 결과

• 논문은 저차원 유클리드 공간에서 볼록껍데기의 핵심 기하적 특징—직경, 폭, 부피, 최소 외접 상자, 최소 외접 구—를 근사하기 위한 최초의 미분적 비밀보장 알고리즘을 제시한다.
• 제안된 pα,∆)-커널은 비밀보장된 출력 집합 S의 볼록껍데기 CH(S)가 (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆)를 만족함으로써, 비밀보장 조건 하에서 강력한 기하학적 근사를 보장한다.
• 최소 외접 구의 경우, CH(S)의 반지름은 (1−α1)rκ와 (1+α1)rκ−∆ 사이에 위치함이 보장되며, 여기서 rκ와 rκ−∆는 각각 DP(κ)와 DP(κ−∆)의 최소 외접 구의 반지름이다.
• 최소 외접 타원체나 상자에 대해서는 α1 < 1/(4d)일 때 CH(S)의 부피가 [ (1−2dα1)Vκ, (1+2dα1)Vκ−∆ ] 범위 내에 있으며, 이는 부피 기반 측정치에 대한 유용성을 보장한다.
• 표면적은 α1 < 1/(4(d−1))를 만족할 경우, DP(κ)와 DP(κ−∆)의 면의 표면적에 대해 [ (1−2(d−1)α1)Aκ, (1+2(d−1)α1)Aκ−∆ ] 범위 내에 제약을 받는다.
• vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆))가 되는 깊이 매개변수 κ를 추정할 수 있는 비밀보장 알고리즘을 개발하여, 영역이 처음부터 지글지글하지 않더라도 pα,∆)-커널의 구성이 가능하게 한다.