[논문 리뷰] Diffusion approximations via Stein's method and time changes

Mikołaj J. Kasprzak|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 26.

Random Matrices and Applications참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스티븐의 방법을 시간에 따라 변화하는 확률과정의 수렴 속도를 유계화하는 데로 확장하며, 특히 스케일링된 시간에 따라 변화하는 랜덤 워크가 시간에 따라 변화하는 브라운 운동으로 수렴함을 보여준다. 이 틀을 이용해 돌연변이가 있는 모란 모델과 돌연변이가 있는 라이트-파이저 확산과정 사이의 거리를 유계화하며, 기능적 스티븐 방정정식과 시간변경 기법을 통해 정량적인 수렴 속도를 확립한다.

ABSTRACT

We extend the ideas of (Barbour 1990) and use Stein's method to obtain a bound on the distance between a scaled time-changed random walk and a time-changed Brownian Motion. We then apply this result to bound the distance between a time-changed compensated scaled Poisson process and a time-changed Brownian Motion. This allows us to bound the distance between a process whose dynamics resemble those of the Moran model with mutation and a process whose dynamics resemble those of the Wright-Fisher diffusion with mutation upon noting that the former may be expressed as a difference of two time-changed Poisson processes and the diffusive part of the latter may be expressed as a time-changed Brownian Motion. The method is applicable to a much wider class of examples satisfying the Stroock-Varadhan theory of diffusion approximation.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 과정을 근사하기 위한 기능적 스티븐의 방법 틀을 개발하는 것.
• 스케일링된 시간에 따라 변화하는 랜덤 워크와 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 사이의 거리를 유계화하는 것.
• 이 방법을 돌연변이가 있는 모란 모델에 적용하여, 돌연변이가 있는 라이트-파이저 확산과정으로 근사하는 것.
• 기능적 수렴을 위한 스티븐의 방법을 사용하여 스트루크-바라다한 이론의 확산 근사 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 과정를 위한 스티븐 방정식을 푸는 방식으로 스티븐의 방법을 기능적 수렴에 적응시킴.
• 시간변경 표현을 사용하여 이산시간 과정(예: 포아송 과정)과 연속적인 확산과정을 연결함.
• 스티븐 방정식의 해에 대한 유계를 적용하여 시간에 따라 변화하는 랜덤 워크의 법칙과 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 사이의 거리를 통제함.
• 커플링과 모멘트 유계를 사용하여 스티븐 연산자가 해 함수에 적용된 기대값을 추정함.
• 모란 과정을 모델링하기 위해 두 개의 시간에 따라 변화하는 포아송 과정의 차이에 이 틀을 적용함.
• 라이트-파이저 확산과정의 확산 부분이 시간에 따라 변화하는 브라운 운동으로 표현될 수 있다는 사실을 활용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스티븐의 방법은 시간에 따라 변화하는 과정의 기능적 수렴에 확장될 수 있는가?
• RQ2 스케일링된 시간에 따라 변화하는 랜덤 워크와 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 사이의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 이 방법을 사용하여 돌연변이가 있는 모란 모델과 돌연변이가 있는 라이트-파이저 확산과정 사이의 거리를 유계화할 수 있는가?
• RQ4 스티븐의 방법을 사용하여 정량적 유계를 도입함으로써 스트루크-바라다한의 확산 근사 이론을 강화할 수 있는가?

주요 결과

• 스티븐의 방법을 사용하여 스케일링된 시간에 따라 변화하는 랜덤 워크와 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 사이의 거리에 대한 유계를 확립함.
• 이 방법은 시간에 따라 변화하는 보정된 포아송 과정과 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 사이의 거리에 대한 정량적 유계를 제공함.
• 모란 모델과 돌연변이가 있는 라이트-파이저 확산과정 사이의 수렴 속도는 이 틀을 통해 유계화됨.
• 이 틀은 스트루크-바라다한의 확산 근사 조건를 만족하는 광범위한 과정 클래스에 적용 가능함.
• 이 방법은 시간 변화에 대해 강건하며, 시간변경 함수와 과정의 매개변수에 따라 명시적인 오차 유계를 허용함.
• 이 방법은 전통적인 약한 수렴을 넘어서는 기능적 수렴 유계를 제공하며, 유전적 인구 모델의 근사에 대한 속도를 제공함.