[논문 리뷰] Diffusion, Convection and Erosion on SE(3)/({0} imes SO(2)) and their Application to the Enhancement of Crossing Fibers

Remco Duits, Eric Creusen외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 03.

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 위치와 자세를 모델링하기 위해 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 왼쪽 불변 확산 및 해밀턴-자코비(에로ージョン) 과정을 도입하여 고각도 해상도 확산 영상(HARDI)에서 교차 섬유를 향상시킨다. $SE(3)$에서의 부분 리만 기하학과 카르탕 접속을 활용함으로써, 유한 차분과 컨볼루션을 통해 해결되는 불변 편미분방정식을 통해 교차를 유지하는 섬유 강화가 가능해지며, 뇌 MRI에서의 섬유 추적 성능이 크게 향상된다.

ABSTRACT

In this article we study both left-invariant (convection-)diffusions and left-invariant Hamilton-Jacobi equations on the space SE(3)/({0} imes SO(2)) of 3D-positions and orientations naturally embedded in the group SE(3) of 3D-rigid body movements. The general motivation for these (convection-)diffusions and erosions is to obtain crossing-preserving fiber enhancement on probability densities defined on the space of positions and orientations. The linear left-invariant (convection-)diffusions are forward Kolmogorov equations of Brownian motions on SE(3)/({0} imesSO(2)) and can be solved by convolution with the corresponding Green's functions or by a finite difference scheme. The left-invariant Hamilton-Jacobi equations are Bellman equations of cost processes on SE(3)/({0} imesSO(2)) and they are solved by a morphological convolution with the corresponding Green's functions. Furthermore, we consider pseudo-linear scale spaces on the space of positions and orientations that combines dilation and diffusion in a single evolution. In our design and analysis for appropriate linear, non-linear, morphological and pseudo-linear scale spaces on SE(3)/({0} imesSO(2)) we employ the underlying differential geometry on SE(3), where the frame of left-invariant vector fields serves as a moving frame of reference. Furthermore, we will present new and simpler finite difference schemes for our diffusions, which are clear improvements of our previous finite difference schemes. We apply our theory to the enhancement of fibres in magnetic resonance imaging (MRI) techniques for imaging water diffusion processes in brain white matter. We provide experiments of our crossing-preserving evolutions on neural images of a human brain containing crossing fibers.

연구 동기 및 목표

• 의료 영상에서의 섬유 강화를 향상시키기 위해 3차원 위치와 자세의 공간($\mathbb{R}^3\rtimes S^2$)에서의 불변 확산 및 형태학적 과정을 개발하는 것.
• 리 군 기하학을 사용하여 자세에 따라 신호 전파를 모델링하여 확산 영상에서 교차 섬유를 유지하는 과제를 해결하는 것.
• 좌표 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 왼쪽 불변 편미분방정식을 해결하기 위한 안정적이고 효율적인 유한 차분 스킴을 설계하는 것.
• 모든 선형, 비선형, 가상 선형 스케일 스페이스를 $SE(3)$에 뿌리를 두고 공통 기하학적 프레임워크로 통합하는 것.
• 실제 HARDI 및 DTI 데이터에 프레임워크를 적용하여 인간 뇌 영상에서의 섬유 추적 성능 향상을 입증하는 것.

제안 방법

• $SE(3) = \mathbb{R}^3\rtimes SO(3)$에서의 왼쪽 불변 벡터장이 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 내재 미분 연산자를 정의하기 위한 이동 기준으로 사용된다.
• 선형 대류-확산 과정은 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 전진 코모고로프 방정식으로 모델링되며, 그린 함수 또는 유한 차분을 사용한 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$-컨볼루션으로 해결된다.
• 비선형 에로ージョン은 왼쪽 불변 해밀턴-자코비 방정식(벨만 방정식)으로 모델링되며, 그린 함수를 사용한 형태학적 컨볼루션으로 해결된다.
• 가상 선형 스케일 스페이스는 군 다양체에서 하이브리드 프레임워크를 사용하여 확산과 에로ージョン을 하나의 진화로 통합한다.
• $SE(3)$에서의 기본 카르탕 접속과 지오데식선은 수치 스킴의 해석적 근사와 안정성 한계를 유도하는 데 사용된다.
• 유한 차분 스킴은 각도 및 공간 증분 행렬로 설계되었으며, 군 구조에서 유도된 스텝 사이즈 한계를 통해 안정성이 확보된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 왼쪽 불변 확산 및 에로ージョン 과정을 어떻게 정의하여 확산 영상에서 교차 섬유를 유지할 수 있는가?
• RQ2 카르탕 접속과 부분 리만 기하학이 $SE(3)$에서의 불변 편미분방정식을 통해 섬유 강화를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 유한 차분 스킴이 이전 구현에 비해 안정성과 정확도에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 가상 선형 스케일 스페이스는 확산과 형태학적 연산을 효과적으로 통합하여 섬유 추적 성능을 향상시키는가?
• RQ5 제안된 방법들이 복잡한 교차 기하학을 가진 HARDI 영상에서 섬유 탐지 능력을 얼마나 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 왼쪽 불변 확산 및 에로ージョン 과정은 합성 및 실제 HARDI 데이터에서 교차 섬유를 성공적으로 유지하며, 표준 등방성 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 좌표 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 유한 차분 스킴은 이전 구현보다 더 안정적이고 정확하며, 유도된 안정성 한계로 인해 수렴성이 보장된다.
• $SE(3)$ 기반 기하학을 사용함으로써 자세 공간에서 지오데식 경로와 곡률 효과를 정확하게 모델링할 수 있었으며, 이는 섬유 추적에 있어 핵심적이다.
• $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$에서의 비용 과정 그린 함수에 대한 해석적 추정식이 유도되었으며, 이는 효율적인 수치 구현을 지원한다.
• 인간 뇌 MRI에 대한 실험 결과, 적응형 왼쪽 불변 진화가 기존 방법보다 더 높은 정밀도로 복잡한 섬유 교차를 탐지하고 강화함을 입증했다.
• 시간 적분 커널의 헤이젠베르크 근사화는 효율적인 局소 분석과 커널 근사화를 가능하게 하여 계산 확장성 향상에 기여했다.