[논문 리뷰] Diffusion covariation and co-jumps in bidimensional asset price processes with stochastic volatility and infinite activity Levy jumps

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 09.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확산 공분산과 동시 점프를 일관되게 분리하는 임계값 기반 추정기의 제안을 통해, 확산 항과 무한 활동 레비 점프를 수반하는 이변량 자산 수익률 과정에서의 공분산 추정을 다룬다. 이론적으로는 이산 고주기 데이터를 사용하여 큰 증분을 식별함으로써 동시 점프를 탐지하고, 확산 공분산 추정기의 수렴 속도가 일반적인 무한 활동 설정에서는 성립하지 않으며, 중간 수준의 점프 활동 조건에서만 √h 속도로 수렴함을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we consider two processes driven by diffusions and jumps. The jump components are Levy processes and they can both have finite activity and infinite activity. Given discrete observations we estimate the covariation between the two diffusion parts and the co-jumps. The detection of the co-jumps allows to gain insight in the dependence structure of the jump components and has important applications in finance. Our estimators are based on a threshold principle allowing to isolate the jumps. This work follows Gobbi and Mancini (2006) where the asymptotic normality for the estimator of the covariation, with convergence speed given by the squared root of h, was obtained when the jump components have finite activity. Here we show that the speed is the squared root of h only when the activity of the jump components is moderate.

연구 동기 및 목표

• 두 자산 수익률 과정 간의 연속 공분산을 확산과 점프 성분으로부터 분리하여 추정하는 것.
• 고주기 관측치를 기반으로 한 일관된 임계값 기반 추정기를 개발하는 것.
• 점프 성분이 무한 활동일 경우 확산 공분산 추정기의 渐近 수렴 속도를 규명하는 것.
• 안정형 유사 레비 점프 법칙과 코풀라 의존성 구조 하에서 추정기의 渐近 정규성을 분석하는 것.
• 이전의 유한 활동 점프 연구를 더 복잡한 일반 의존성 구조를 가진 무한 활동 레비 과정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 관측된 가격 변화의 증분 크기를 기반으로, 점프 크기가 사전에 설정된 임계값을 초과하는 간격을 식별하는 임계값 기준을 사용한다.
• 절단된 실현 제곱공분산 추정기: $\tilde{v}^{(n)}_{1,1}(X^{(1)},X^{(2)})_{T} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $를 적용하여, 점프로 인한 것으로 보이는 큰 증분을 제외한다.
• 점프 성분을 유한 활동 점프 $J_1^{(q)}$ 와 무한 활동 레비 성분 $\tilde{J}_2^{(q)}$ 로 분해하며, 안정형 유사 꼬리 행동을 가정한다.
• 코풀라 모델링을 통해 특정 의존성 가정 하에서 린데버그-플러거 중심극한정리 프레임워크를 활용하여 추정기의 渐近 정규성을 입증한다.
• 표본 주파수 증가($h \to 0$)에 따라 점프 증분의 고차수 모멘트와 꼬리 확률의 행동을 분석함으로써 수렴 속도를 유도한다.
• 모멘트 경계와 渐近 전개를 사용하여, 무한 활동 조건에서도 추정기가 일관성을 유지하지만, 수렴 속도 $\sqrt{h}$ 는 점프 활동이 중간일 경우에만 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프 성분이 무한 활동일 경우, 확산 공분산에 대한 임계값 추정기의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ2 코풀라로 모델링된 의존성 구조를 가진 동시 점프의 구조가 추정기의 渐近 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 무한 활동 레비 점프가 존재하는 상황에서 임계값 기반 방법이 확산 공분산과 동시 점프를 일관되게 분리할 수 있는가?
• RQ4 점프 활동과 꼬리 행동(예: 안정형 유사 법칙)에 어떤 조건이 성립할 경우 추정기가 渐近 정규성을 확보하는가?
• RQ5 무한 활동 레비 점프의 포함 여부가 실현 공분산 추정기의 편향과 분산에 유한 활동 경우와 비교해 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임계값 추정기 $\tilde{v}^{(n)}_{1,1}$ 는 일반 조건 하에서, 무한 활동 레비 점프를 포함한 통합 확산 공분산 $\int_0^T \rho_t \sigma_t^{(1)} \sigma_t^{(2)} dt$ 에 대해 일관성을 보인다.
• 추정기의 수렴 속도는 점프 활동이 중간일 경우에만 $\sqrt{h}$ 로 성립하며, 일반적인 무한 활동 조건에서는 꼬리 지수 $\alpha_1, \alpha_2$ 에 따라 더 느릴 수 있다.
• 무한 활동 레비 성분 $\tilde{J}_2^{(q)}$ 가 안정형 유사 법칙을 따르고, 공동 의존성이 주어진 클래스의 코풀라에 의해 지배될 경우, 추정기의 渐近 정규성이 입증된다.
• 점프 증분 항의 큰 이탈 확률이 $h \to 0$ 일 때 소멸됨을 보여, 린데버그 조건이 만족됨을 입증함으로써 정규성 수렴이 보장된다.
• 큰 증분이 포함된 간격을 제외함으로써 동시 점프를 성공적으로 분리하였으며, 표준 실현 공분산 대비 추정치의 편향을 감소시켰다.
• 이론적 결과에 따르면, 무한 활동 점프 성분이 추정 오차에 기여하는 정도는 안정성 지수 $\alpha_1, \alpha_2$ 와 표본 주파수 $h$ 에 따라 결정되는 속도로 감소한다.