[논문 리뷰] Diffusion limits for a Markov modulated counting process

Peter Spreij, Jaap Storm|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 빠른 스위칭과 대규모 인구 수 근처에서 마코프 조절형 이항 카운팅 과정에 대한 약한 극한 정리들을 수립하며, 기능적 중심극한 근사법을 도출하여 확산 과정을 얻는다. 주요 기여는 의무자 수가 증가하는지 또는 조절 마코프 체인이 가속화되는지에 따라 다른 확산 극한이 도출된다는 것을 규명한 것이다. 이는 제도 전환 하에서의 신용 리스크 모델링에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we study limit behavior for a Markov-modulated (MM) binomial counting process, also called a binomial counting process under regime switching. The concept of Markov-modulation has become increasingly popular in many branches of science. For example, one can model asset prices with stochastic processes, or model the 'state of the economy' by a Markov. The binomial counting process naturally appears in the context of credit risk when multiple obligors are present. Markov modulation takes place when the failure/default rate of each individual obligor depends on an underlying Markov chain. The limit behavior under consideration occurs when the number of obligors increases unboundedly, and/or by accelerating the modulating Markov process, called rapid switching. The interest is in finding weak limits in each of these cases, more specifically of a functional central limit type. In other words we will study diffusion approximations. Depending on the specific circumstances, different approximations are found.

연구 동기 및 목표

• 의무자 수가 증가할 때 이항 카운팅 과정의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 기저 마코프 조절 과정의 빠른 스위칭이 극한 분포에 미치는 영향을 연구하기 위해.
• 다양한 스케일링 영역에서 카운팅 과정의 기능적 중심극한 유형의 약한 극한을 도출하기 위해.
• 제도 의존적 파산 강도를 갖는 신용 리스크 모델링에 적합한 확산 근사법을 제공하기 위해.
• 의무자 수의 스케일링 또는 마코프 체인의 스위칭 속도에 따라 다른 확산 극한이 도출되는 조건을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 파산 비율이 기저 연속시간 마코프 체인에 의해 결정되는 이항 과정으로 카운팅 과정을 모델링하기 위해.
• 의무자 수가 무한히 증가할 때의 극한 행동을 분석하기 위해 약한 수렴 기법을 적용하기 위해.
• 조절 마코프 체인의 속도를 높여 시간 스케일 분리 기법을 도입하여 빠른 스위칭 영역을 연구하기 위해.
• 모집단 크기와 스위칭 속도의 동시 스케일링 하에서 정규화된 카운팅 과정에 대한 기능적 중심극한 정리를 도출하기 위해.
• 마르팅게일 기능적 중심극한 이론을 사용하여 극한에서 확산 과정으로의 수렴을 확립하기 위해.
• 두 가지 점근적 영역을 구분하기 위해: 고정된 스위칭 속도를 갖는 대규모 모집단, 그리고 고정된 모집단 크기에서의 빠른 스위칭, 각각 다른 확산 극한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의무자 수가 무한히 증가할 때 마코프 조절형 이항 카운팅 과정의 약한 극한은 무엇인가?
• RQ2 기저 마코프 조절 과정의 빠른 스위칭이 카운팅 과정의 극한 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 정규화된 카운팅 과정이 분포상으로 확산 과정으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 다양한 스케일링 영역—대규모 모집단 대비 빠른 스위칭—에서 나타나는 구별되는 확산 근사법은 무엇인가?
• RQ5 극한 확산 과정은 신용 리스크 응용에서의 제도 전환 역학을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 의무자 수가 증가하고 조절 마코프 체인이 고정되어 있을 때, 정규화된 카운팅 과정은 약한 수렴으로 확산 과정으로 수렴한다.
• 조절 마코프 체인이 급격히 스위칭될 경우, 극한 과정은 다시 확산이지만, 빠르게 스위칭하는 상태들에 대한 평균화로 인해 다른 효과적 강도를 갖는다.
• 극한 확산 과정은 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 성분을 특징으로 하며, 이는 제도 전환 역학을 반영한다.
• 공동 스케일링 하에서 기능적 중심극한 정리가 적용되어, 모집단 크기와 스위칭 속도의 영향을 모두 반영하는 확산 근사법을 도출할 수 있다.
• 결과는 제도 의존적 파산 강도를 갖는 신용 리스크 모델을 근사하기 위해 확산 과정을 사용하는 데에 엄밀한 기초를 제공한다.
• 이 논문은 두 가지 구별되는 극한 영역—대규모 모집단과 빠른 스위칭—을 규명하였으며, 각각 다른 확산 근사법을 도출한다.