[논문 리뷰] Diffusive Nambu-Goldstone modes in quantum time-crystals

Tomoya Hayata, Yoshimasa Hidaka|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 23.

Nonlinear Photonic Systems인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 개방된 양자역학계에서 스chwinger-Keldysh 형식을 사용하여 양자 시간 결정체 내의 확산 Nambu-Goldstone 모드를 연구한다. 복소 스칼라 장에 대해 효과적인 작용과 노이터 전류를 유도하며, 시간 이동 대칭성과 U(1) 대칭성이 확산 분산을 갖는 무차원 모드를 유도함을 보여주며, 주기적으로 구동되는 시스템에서의 피드백 분석과 영모드 해를 통해 이를 확인한다.

ABSTRACT

We study the Nambu-Goldstone (NG) modes associated with spontaneous breaking of the continuous time-translation symmetry. To discuss a quantum time-crystal with the spontaneously-broken continuous time-translation symmetry, we introduce the van der Pol type nonlinear-friction to open quantum systems. By considering small fluctuations around a time-periodic mean-field solution, we show that a gapless collective mode necessarily appears; this is nothing but the NG mode associated with a time crystal. We show that its dispersion relation becomes $ω=-iC\bm p^2$. We also show that noncommutative breaking of the time-translation and U(1) symmetries results in mixing of the NG modes, and the (typically) propagating NG mode appears, whose dispersion relation becomes $ω=(\pm C_1-iC_2)\bm p^2$.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 시간 이동 대칭성이 깨진 양자 시간 결정체에서 Nambu-Goldstone 모드의 발생 원리를 이해하는 것.
• Schwinger-Keldysh 경로 적분 형식을 사용하여 환경과 결합된 개방 양자계에 대한 효과적인 작용을 유도하는 것.
• 시간 이동 대칭성과 U(1) 대칭성에 관련된 노이터 전류가 시스템의 저에너지 동역학을 결정하는 데서 수행하는 역할를 규명하는 것.
• 손실과 비선형성이 존재하는 상황에서, 특히 주기적으로 구동되는 시스템에서 Nambu-Goldstone 모드의 분산 관계를 분석하는 것.
• 역행렬 Green 함수와 그의 극을 계산하는 프레임워크를 구축하여, 모드 스펙트럼과 확산 행동을 결정하는 것.

제안 방법

• 환경의 자유도를 통합하여 시스템에 대한 효과적인 작용을 도출하기 위해 Schwinger-Keldysh 경로를 사용하여 개방 양자계의 경로 적분을 수식화한다.
• 필드의 R/A 기저를 도입하여, φ_R = (φ₁ + φ₂)/2 및 φ_A = φ₁ - φ₂로 정의함으로써 효과적인 작용 내 평균 및 차이 필드를 분리한다.
• 효과적인 작용 S_eff[φ₁, φ₂] = S_sys[φ₁] - S_sys[φ₂] + Γ[φ₁, φ₂]를 유도하며, 여기서 Γ는 환경에 의한 소산 및 비선형 효과를 포함한다.
• 연속 대칭성에 관련된 보존 전류 j_A^{aμ}를 식별하기 위해 노이터 절차를 적용한다. 이는 시간 이동 대칭성과 U(1) 대칭성을 포함한다.
• 일반화된 Watanabe-Brauner 행렬을 구성하고, 시간 주기적 배경에서 비틀림 없는 해밀토니안 H₀의 영모드를 구한다.
• H₀의 왼쪽 및 오른쪽 영모드 고유벡터를 사용하여, 역행렬 Green 함수에 대한 페르미-테이러 보정 V₀₀(ω, p)를 계산하며, 이는 확산 분산을 갖는 2×2 행렬이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 손실가 존재하는 상황에서 시간 이동 대칭성이 깨진 양자 시간 결정체 내에서 Nambu-Goldstone 모드가 어떻게 발생하는가?
• RQ2 환경이 개방된 양자계에서 Goldstone 모드의 분산 관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시간 이동 대칭성과 U(1) 대칭성에 관련된 노이터 전류가 시스템의 효과적인 역학에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 대칭성이 깨진 주기적으로 구동되는 시스템에서의 역행렬 Green 함수의 구조와 그의 극은 어떻게 되는가?
• RQ5 선형화된 운동 방정식과 영모드 분석을 통해 Nambu-Goldstone 모드의 확산 성질을 해석적으로 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 시스템의 효과적인 작용에는 Γ[φ₁, φ₂] = ∫d⁴x[φ_A γ(1 - κφ_R²)∂ₜφ_R + iAφ_A²] 형태의 소산 항이 포함되어 있으며, 이는 감쇠와 비선형성을 유도한다.
• 시간 이동 대칭성에 대응하는 노이터 전류는 j_A^{T0} = -∂ₜφ_A*∂ₜφ_R - ∂ₜφ_R*∂ₜφ_A + φ_A*∇²φ_R + φ_R*∇²φ_A + (μ² - m² + λ|∂ₜφ_R|²)(φ_A*φ_R + φ_R*φ_A) + iA|φ_A|² 로 명시적으로 계산된다.
• 비틀림 없는 해밀토니안 H₀의 영모드는 Ψ₀^(T) = (ḋφ₁₀, ḋφ₂₀) 및 Ψ₀^(Q) = (−φ₂₀, φ₁₀) 로서, 각각 시간 이동 대칭성과 U(1) 대칭성에 해당한다.
• 역행렬 Green 함수에 대한 페르미-테이러 보정 V₀₀(ω, p)는 [ω² + i a ω − p², −i c ω; i b ω, ω² + i d ω − p²] 형태의 2×2 행렬이며, 계수 a, b, c, d는 영모드 고유벡터와 배경 필드에 대한 적분으로 구성된다.
• 표면 조건 det V₀₀(ω, p) = 0 을 통해 유도된 분산 관계는 작은 운동량에서 확산 모드와 일치하며, 작은 p에 대해 극이 ω ≈ −i(Γ/2) ± i(p²/2) 에 위치함을 보여준다.
• 확산 행동은 감쇠(γ), 비선형성(κ), 그리고 배경 필드의 주기적 시간 의존성 간의 상호작용에 의해 발생하며, 영모드 방정식의 수치적 해를 통해 확인된다.