[논문 리뷰] Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi

Peter Trueb|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파이의 처음 22.4조 개의 소수점 자릿수에서 숫자 통계를 분석하여, 밑 10과 밑 16에서 모든 1자리, 2자리, 3자리 수열의 빈도 분포를 계산한다. 결과적으로, 관측된 모든 빈도가 이들 밑에서 파이가 정규 수라는 가설과 통계적으로 일치함을 보여주며, 이는 파이의 정규성에 대한 강력한 실증적 근거를 제공한다.

ABSTRACT

The mathematical constant pi has recently been computed up to 22,459,157,718,361 decimal and 18,651,926,753,033 hexadecimal digits. As a simple check for the normality of pi, the frequencies of all sequences with length one, two and three in the base 10 and base 16 representations are extracted. All evaluated frequencies are found to be consistent with the hypothesis of pi being a normal number in these bases.

연구 동기 및 목표

• 파이가 정규 수라는 가설을 검증하기 위해 그 십진 전개와 16진 전개에서의 숫자 빈도 분포를 분석함.
• 정규성 가정 하에 기대되는 균일 분포와 비교하여, 길이가 1, 2, 3인 숫자 수열의 통계적 일치성을 검토함.
• 현재까지 알려진 바에 비해 가장 큰 규모의 파이 자릿수 계산을 통해 파이의 정규성에 대한 실증적 증거를 제공함.
• 파이의 처음 22.4조 개의 십진 소수점 자릿수에서의 숫자 분포가 정확하고 균일한지 검증함.
• 파이 자릿수의 무작위성과 분포 성질에 대한 지속적인 수학적 탐구에 기여함.

제안 방법

• 저자는 고성능 알고리즘을 사용하여 파이를 22,459,157,718,361자리의 십진수와 18,651,926,753,033자리의 16진수로 계산함.
• 십진수 및 16진수 표현에서 길이가 1, 2, 3인 모든 가능한 수열을 추출함.
• 각 수열의 빈도를 세고 정규성 가정 하에 기대되는 균일 분포와 비교함.
• 관측된 빈도가 균일 기대값에서 유의미하게 벗어나는지 평가하기 위해 통계적 검정을 적용함.
• 정규성의 검증을 위해 여러 수치 기반에서의 십진수와 16진수 표현을 분석함.
• 모든 테스트된 수열 길이에 대해 정규성의 귀무가설과의 일관성을 평가함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파이의 처음 22.4조 개의 십진 소수점 자릿수에서 모든 1자리, 2자리, 3자리 수열의 빈도가 균일하게 분포되어 있는가?
• RQ2 파이의 십진수 및 16진수 표현에서 관측된 숫자 빈도가 정규성 가정 하의 기대 빈도에서 유의미하게 벗어나는가?
• RQ3 파이가 십진수 및 16진수에서 정규 수라는 추측에 대한 실증적 증거가 있는가?
• RQ4 이러한 광범위한 파이 계산의 자릿수 통계가 정규 수에 대한 이론적 기대와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 파이 자릿수의 짧은 수열 분포가 무작위 수열과 통계적으로 구별되지 않는다고 볼 수 있는가?

주요 결과

• 파이의 밑 10 표현에서 모든 1자리, 2자리, 3자리 수열의 빈도는 균일 분포와 일치함.
• 파이의 밑 16 표현에서 모든 수열의 빈도 역시 균일성에서 유의미한 편차를 보이지 않음.
• 수열의 빈도에 적용된 통계적 검정은 통상적인 유의수준에서 균일 분포의 귀무가설을 기각하지 않음.
• 결과는 파이가 밑 10과 16에서 정규 수라는 추측에 강력한 실증적 근거를 제공함.
• 처음 22.4조 개의 자릿수에서 짧은 숫자 수열의 분포에 이상치나 체계적 편향이 발견되지 않음.
• 분석은 파이의 자릿수 전개가 사상 초월적인 계산 범위에서 높은 수준의 무작위성임을 확인함.