[논문 리뷰] Dimension Data, Local and Global Conjugacy in Reductive Groups

Song Wang|ArXiv.org|2007. 07. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 군의 반복 표현에서 고정점 부분공간의 치수—즉, 표현에 대한 고정점 부분공간의 치수—가 준순수 부분군을 동치류에 따라 결정하는 정도를 조사한다. 특정 고전적 및 예외적 군들(예: $SO(2N)$, $Sp(2N)$, $O(N)$)에 대해, 부르트가 불가능한 경우에 대해 국소적 동치(단순 원소들에 대한 동치)가 전역적 동치(전체 부분군에 대한 동치)를 이끌지 못하는 명시적 반례를 구성함으로써, 이는 동치가 아닐 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 $SO(2N)$에 대한 단순 리 군의 비동치 임bedding을 제공하는 것으로, 이들은 국소적으로 동치이지만 전역적으로는 동치가 아니며, 이는 자동형식의 다중성 원리에 영향을 미친다.

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group (over $\mathbb{C}$) and H a connected semisimple subgroup. The dimension data of H (realative to its given embedding in G) is the collection of the numbers $\{{ m dim} V^{H}\}$, where V runs over all the finite dimensional representations of G. By a Theorem of Larsen-Pink ([L-P90]), the dimension data determines H up to isomorphism, and if G = GL (n) even up to conjugacy. Professor Langlands raised the question as to whether the strong (conjugacy) result holds for arbitrary G. In this paper We provided the following (negative) answer: If H is simple of type A_{4 n}, $B_{2 n} (n \geq 2)$, $C_{2 n} (n \geq 2)$, E_{6}, E_{8}, F_{4} and G_{2}, then there exist (for suitable $N$) pairs of embeddings i and i' of H into $G = SO (2 N)$ such that there image i (H) and i' (H) have the same dimension data but are not conjugate. In fact we have shown that i (H) and i' (H) are \emph{locally conjugate}, i.e., that i (h) and i' (h) are conjugate in G for all semisimple $h \in H$. If one assumes functoriality, this result will furnish the failure of multiplicity one for automorphic forms on such G over global fields. Such things are known in the disconnected cases, especially when H is finite, as in the works of Blasius [Blasius94] for $SL (n) (n \geq 3)$ and Gan-Gurevich-Jiang2002 ([Gan]) for G_{2}.

연구 동기 및 목표

• 재수정된 군 내의 준순수 부분군이 동치류에 따라 차원 자료—즉, 모든 표현에 대한 고정점 부분공간의 치수—에 의해 결정되는지 여부를 규명하는 것.
• 차원 자료의 맥락에서 국소적 동치(단순 원소에 대한 동치)와 전역적 동치(전체 부분군에 대한 동치)의 차이를 조사하는 것.
• SO(2N)에 대한 단순 리 군의 비동치 임베딩의 명시적 예를 제시하여 동일한 차원 자료를 가짐에도 불구하고 전역적으로 동치가 아님을 보여주는 것.
• 이러한 국소-전역 동치 실패의 산술적 영향, 특히 랑글랜즈의 함수적 전이와 자동형식 표현에 대한 다중성 원리의 맥락에서 탐색하는 것.
• 고전적 군에서 자리를 채우는 갈루아 표현을 구성하기 위한 프레임워크를 제공하는 것. 이는 국소적 동치 조건을 핵심 도구로 사용한다.

제안 방법

• 논문은 복소수 재수정된 군의 표현 이론을 사용하여, 특히 고정 표현과 그의 외적 거듭제곱을 중심으로, 모든 표현 $\rho: G \to GL(V)$에 대해 $\dim V^H$로 정의된 차원 자료를 정의한다.
• Larsen와 Pink의 $GL(n,\mathbb{C})$에서의 차원 자료 결과를 고전적 군 $SO(N)$, $Sp(2N)$, $O(N)$로 확장하여, 차원 자료가 전역적 동치에 의해 부분군을 결정하는 조건을 설정한다.
• 반례의 구성은 $SO(2N)$의 외부 자명변환, 특히 $O(2N) \setminus SO(2N)$에 속하는 원소에 의한 공액을 통해 이루어지며, 단순 리 군 $H$의 두 번째 임베딩 $i' = \tau \circ i$를 정의한다.
• 논문은 $H$가 $A_{4n}, B_{2n}, C_{2n}, E_6, E_8, F_4, G_2$ 유형일 경우, 고정 표현 $i$와 $i' = \tau \circ i$가 동일한 차원 자료를 가지지만 전역적으로 동치가 아니며, 국소적으로는 동치임을 증명한다.
• 논문은 Tchebotarev 밀도와 $L$-함수를 사용하여 국소적 동치가 $L$-함수의 일치로 이어짐을 보이며, 프로베니우스 공액이 $L$-함수의 일치를 유도함을 보여준다.
• Arthur의 다중성 공식과 랑글랜즈의 함수적 전이를 적용하여, 이러한 국소-전역 불일치가 다중성이 1을 초과하는 컷폼을 유도할 수 있음을 보이며, 특히 랑글랜즈 군이 연결되어 있을 경우에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재수정된 군 $G$ 내의 준순수 부분군 $H$의 차원 자료가 $G$ 내에서 전역적 동치에 의해 $H$를 결정하는가?
• RQ2 SO(2N)에 대한 단순 리 군의 두 비동치 임베딩이 국소적으로 동치일지라도 동일한 차원 자료를 가질 수 있는가?
• RQ3 재수정된 군에서 국소적 동치(단순 원소에서의 동치)가 전역적 동치로 이어지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 차원 자료에서의 전역적 동치 실패가 자동형식 표현에 대한 다중성 원리에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 국소-전역 동치 현상은 갈루아 표현과 자동형식에서 실현될 수 있는가? 특히 수체에서의 경우에 대해.

주요 결과

• G = SO(2N), $Sp(2N)$, 또는 $O(N)$일 경우, 연결된 준순수 군 $H$의 두 부르트가 불가능한 표현이 동일한 차원 자료를 가진다면, 그들의 상은 내부 자명변환에 의해 $G$에서 동치이므로 전역적으로 동치이다.
• 논문은 명시적인 반례를 구성하여, 단순 리 군 $H$의 두 임베딩 $i$와 $i' = \tau \circ i$가 동일한 차원 자료를 가지지만 전역적으로 동치가 아니며, 국소적으로는 동치임을 보여준다.
• 반례는 $H$의 리 대수 유형이 $A_{4n}$ ($n \geq 1$), $B_{2n}$ ($n \geq 2$), $C_{2n}$ ($n \geq 2$), $E_6$, $E_8$, $F_4$, 또는 $G_2$일 때 발생하며, $i$는 고정 표현일 경우이다.
• H = SO(5), G = SO(10)일 경우, 고정 표현과 외적 제곱 표현은 국소적으로 동치이지만 전역적으로는 동치가 아니며, 후자는 $SO(10)$의 외부 자명변환에 의해 변형된다.
• 동일한 차원 자료에도 불구하고 전역적 동치가 실패함으로써, $SO(2N)/F$ 위의 컷폼이 다중성이 1을 초과하는 경우가 발생하며, 이는 랑글랜즈 함수적 전이와 Arthur의 다중성 공식을 가정할 경우 성립한다.
• 이 구성은 특성 0의 대수적으로 닫힌 모든 체, 특히 $\overline{\mathbb{Q}}$와 $\overline{\mathbb{Q}}_l$에서도 유효하며, $Sp(4)$에 대해 자리를 채우는 $l$-adic 갈루아 표현에 영향을 미친다.