[논문 리뷰] Dimension free bounds for the Hardy--Littlewood maximal operator associated to convex sets

Luc Deleaval, Olivier Guédon외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 78인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 고차원 공간 내 대칭 볼록체와 관련된 하디-리틀우드 최대연산자의 치수에 의존하지 않는 경계를 확립한다. 특히 Lp 유계성의 치수에 무관한 성질에 초점을 맞추고 있다. p > 1일 때, 이 연산자의 노름은 유클리드 공과 입방체에 대해 균일하게 유계이지만, 약한 유형 (1,1) 상수는 치수에 따라 증가함을 보여주며, 종래의 치수에 무관한 추정의 한계에 대한 오랜 질문을 해결한다.

ABSTRACT

This survey is based on a series of lectures given by the authors at the working seminar "Convexit\\'e et Probabilit\\'es" at UPMC Jussieu, Paris, during the spring 2013. It is devoted to maximal inequalities associated to symmetric convex sets in high dimensional linear spaces, a topic mainly developed between 1982 and 1990 but recently renewed by further advances. The series focused on proving for these maximal functions inequalities in $L^p(\\mathbb{R}^n)$ with bounds independent of the dimension $n$, for all $p \\in (1, +\\infty]$ in the best cases. This program was initiated in 1982 by Elias Stein, who obtained the first theorem of this kind for the family of Euclidean balls in arbitrary dimension. We present several results along this line, proved by Bourgain, Carbery and M\\"uller during the period 1986--1990, and a new one due to Bourgain (2014) for the family of cubes in arbitrary dimension. We complete the cube case with negative results for the weak type $(1, 1)$ constant, due to Aldaz, Aubrun and Iakovlev--Str\\"omberg between 2009 and 2013.

연구 동기 및 목표

• R^n 내 대칭 볼록집합과 관련된 하디-리틀우드 최대연산자에 대한 치수에 의존하지 않는 경계를 확립하기 위해.
• 모든 p ∈ (1, ∞]에 대해 이러한 경계가 치수 n에 따라 독립적인지 조사하기 위해.
• 특히 입방체에 대해 고차원에서의 약한 유형 (1,1) 상수의 행동을 해결하기 위해.
• 스테인, 부르가인, 카르베리, 뮐러 및 알다즈, 아브룬, 얀코블레프-스트롬버그의 최근 연구 결과를 통합하여 이론을 완성하기 위해.
• 약한 유형 (1,1) 상수의 성장률을 규명하여 치수에 무관한 추정의 정확도를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 마틴게일 부등식과 로타의 추론을 활용하여 최대함수를 반군과 브라운 운동에 연결하기 위해.
• 홉 최대부등식과 버크홀더-검디 부등식을 적용하여 Lp 추정을 위한 기법을 사용하기 위해.
• 포아송 반군과 푸리에 승수 기법을 활용하여 치수에 의존하지 않는 경계를 유도하기 위해.
• 보간 이론, 특히 세 직선의 보조정리와 해석적 가중치를 가진 연산자 가중치를 활용하기 위해.
• 스팅어링 근사와 이항 꼬리 추정을 사용하여 고차원 곱공간에서의 확률을 제어하기 위해.
• 주파수의 격자와 체이닝 유형 추정을 사용한 커버링 추론을 구성하여 약한 유형 (1,1) 상수를 유계로 제한하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 볼록체와 관련된 하디-리틀우드 최대함수의 연산자 노름이 모든 p ∈ (1, ∞]에 대해 치수 n에 따라 독립적으로 유계가 될 수 있는가?
• RQ2 n → ∞ 일 때, n차원 입방체와 관련된 최대연산자의 약한 유형 (1,1) 상수의 행동은 어떠한가?
• RQ3 모든 대칭 볼록체에 대해 약한 유형 (1,1) 연산자 노름에 대해 통일된 치수에 무관한 경계가 존재하는가?
• RQ4 투영 체적과 같은 기하학적 매개변수가 최대연산자의 치수에 무관한 행동에 영향을 미치는 정도는 어떠한가?
• RQ5 입방체의 경우 약한 유형 (1,1) 상수의 정확한 성장률을 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 유클리드 공의 가족에 대해, 엘리아스 스테인은 1982년에 모든 p ∈ (1, ∞]에 대해 Lp 연산자 노름이 치수 n에 대해 균일하게 유계임을 증명하였다.
• 부르가인은 1986년에 모든 대칭 볼록체에 대해 최대연산자의 L2 노름이 치수에 의존하지 않음을 증명하였다.
• 카르베리와 뮐러는 볼록체에 기하학적 조건을 부과할 경우 각각 p > 3/2 및 p > 1에 대해 Lp(R^n)에 대해 이를 확장하였다.
• 부르가인(2014)은 모든 p > 1에 대해 n차원 입방체와 관련된 최대연산자에 대해 치수에 의존하지 않는 Lp 경계를 확립하였다.
• 입방체의 약한 유형 (1,1) 상수는 적어도 n^{1/4}의 속도로 증가하며, 큰 n에 대해 약 0.0037 n^{1/4}의 하한을 가진다.
• 이 논문은 약한 유형 (1,1) 상수가 치수에 따라 균일하게 유계가 아니라는 것을 확인하며, 입방체에 대해 치수에 무관한 약한 유형 추정이 가능할 가능성에 대해 날카로운 부정적인 답변을 제공한다.