[논문 리뷰] Dimension hopping and families of strictly positive definite zonal basis functions on spheres

R. K. Beatson, Wolfgang zu Castell|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 29.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구 위의 조화 함수에 대한 치수 뛰어넘기 연산자(dimensions-hopping operators)를 소개하여, 엄밀한 양의 정부호성과 컴팩트한 지지집합을 갖는 새로운 기저 함수의 가족을 구성할 수 있도록 한다. 구의 캡의 특성 함수와의 컨볼루션을 적용하고, 리프팅 연산자를 사용함으로써, S³, S⁵, S⁷, S⁹에서 이러한 함수에 대한 명시적이고 계산 효율적인 표현식을 유도한다. 이 표현식들은 엄밀한 양의 정부호성을 보장한다.

ABSTRACT

Positive definite functions of compact support are widely used for radial basis function approximation as well as for estimation of spatial processes in geostatistics. Several constructions of such functions for ${\mathbb R}^d$ are based upon recurrence operators. These map functions of such type in a given space dimension onto similar ones in a space of lower or higher dimension. We provide analogs of these dimension hopping operators for positive definite, and strictly positive definite, zonal (radial) functions on the sphere. These operators are then used to provide new families of strictly positive definite functions with local support on the sphere.

연구 동기 및 목표

• 구 위의 조화 함수에 대해 유클리드 공간에서의 반경 함수 치수 뛰어넘기 연산자와 유사한 연산자를 개발하여, 엄밀한 양의 정부호성과 비엄밀한 양의 정부호성을 유지하는 것.
• 다양한 차원의 구에서 컴팩트한 지지집합을 갖는 새로운 엄밀한 양의 정부호 조화 함수의 가족을 구성하는 것.
• 유한 급수를 피하고 저비용 평가가 가능한 계산 효율적인 함수를 확보하는 것.
• 자기 컨볼루션을 통한 구의 캡 지표 함수를 기반으로 하는 방법을 통해 이러한 함수를 생성하는 것.

제안 방법

• 구 위의 조화 함수에 대해 치수 뛰어넘기 연산자(montée 및 descente)를 도입하여, 유클리드 공간에서의 것과 유사하게 한다.
• 구간 $[-1,1]$ 에서 컨볼루션 연산자 $ \rho_{\theta} \to \rho_{\theta} \triangleq \rho \triangleleft_{\nu} \rho $ 를 사용하여, 구의 캡 지표 함수로부터 새로운 조화 함수를 유도한다.
• 함수를 낮은 차원의 구에서 높은 차원의 구로 매핑하기 위해 리프팅 연산자 $ \tilde{\rho} = \frac{1}{2} \frac{d}{d\theta} \rho $ 를 적용한다.
• 컨볼루션을 $ \nu = 0 $ 경우에 계산하고 리프팅 연산자 $ \tilde{\rho} $ 를 다수 번 적용함으로써, $ \text{S}^d $ 에서의 결과 함수에 대해 명시적이고 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.
• 결과 함수를 $ x = 1 $ 에서 값 1이 되도록 정규화하여, 보간 및 근사에 적합하게 한다.
• Gegenbauer 계수의 무한히 많은 양의 계수(홀수 및 짝수 인덱스 모두)가 존재함을 확인하여 엄밀한 양의 정부호성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 공간 $ \text{R}^d $ 에서의 반경 함수 치수 뛰어넘기 연산자를 구 $ \text{S}^d $ 위의 조화 함수에 적용하여 양의 정부호성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 구의 캡 지표 함수의 자기 컨볼루션을 통해 컴팩트한 지지집합을 갖는 엄밀한 양의 정부호 조화 함수를 생성할 수 있는가?
• RQ3 S³, S⁵, S⁷, S⁹ 에서 이러한 엄밀한 양의 정부호 조화 함수에 대해 명시적이고 계산 효율적인 형태를 유도할 수 있는가?
• RQ4 결과 함수의 Gegenbauer 전개 계수를 분석하여 엄밀한 양의 정부호성을 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 S³, S⁵, S⁷, S⁹ 에서 엄밀한 양의 정부호 조화 기저 함수에 대해 명시적이고 닫힌 형태의 표현식을 구성하였으며, 모두 컴팩트한 지지집합을 갖는다.
• S³ 에서의 함수 $ N_3(x) $ 는 $ 1 + b\text{arccos}(x) + d\frac{\text{sign}(1-x)}{\text{sign}(1+x)}\frac{1}{\text{sign}(1+x)} $ 로 주어지며, $ s = \text{arccos}(c) $ 에서 유도된 계수를 가지며, $ x \neq \text{cos}(2s) $ 에서는 0이 된다.
• S⁵ 에서의 함수 $ N_5(x) $ 는 $ v = 1 + x $ 에 대한 추가적인 유리수 항을 포함하며, 계수는 $ \text{cos}(s) $ 에 따라 달라지고, $ x = 1 $ 에서 값 1로 정규화되어 있다.
• S⁷ 에서의 함수 $ N_7(x) $ 는 $ \frac{1}{(1+x)^2} $ 까지의 항을 포함하며, 계수는 3차 컨볼루션과 리프팅 연산을 통해 유도된다.
• S⁹ 에서의 함수 $ N_9(x) $ 는 $ \frac{1}{(1+x)^3} $ 까지의 항을 포함하며, 계수는 $ \text{cos}^8(s) $ 를 포함하는 명시적 형태이며, 리프팅 연산자를 네 번 적용하여 유도된다.
• 모든 구성된 함수는 Chen, Menegatto, 및 Sun 의 특성에 따라, 짝수 및 홀수 인덱스의 무한히 많은 양의 Gegenbauer 계수를 포함하므로 엄밀한 양의 정부호성을 갖는다.