[논문 리뷰] Dimension of Fractional Brownian motion with variable drift

Yuval Peres, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동에 Borel 가측 함수 $ f $ 를 더한 경우의 그래프 및 이미지의 하우스도르프 차원에 대한 명시적 공식을, 새로운 방식의 포물형 하우스도르프 차원을 적용하여 도출한다. 주요 결과로는, 하우스도르프 차원이 $ X $ 와 $ f $ 의 차원을 모두 엄격히 초월할 수 있으며, 이는 헬더 연속 함수 $ f $ 에 대해서도 성립함을 보여주며, 랜덤한 외란이 가해져도 민코프스키 차원과 하우스도르프 차원이 다를 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

Let $X$ be a fractional Brownian motion in $\mathbb{R}^d$. For any Borel function $f:[0,1] o \mathbb{R}^d$, we express the Hausdorff dimension of the image and the graph of $X+f$ in terms of $f$. This is new even for the case of Brownian motion and continuous $f$, where it was known that this dimension is almost surely constant. The expression involves an adaptation of the parabolic dimension previously used by Taylor and Watson to characterize polarity for the heat equation. In the case when the graph of $f$ is a self-affine McMullen-Bedford carpet, we obtain an explicit formula for the dimension of the graph of $X+f$ in terms of the generating pattern. In particular, we show that it can be strictly bigger than the maximum of the Hausdorff dimension of the graph of $f$ and that of $X$. Despite the random perturbation, the Minkowski and Hausdorff dimension of the graph of $X+f$ can disagree.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동 $ X $ 와 Borel 함수 $ f $ 에 대해 $ X + f $ 의 거의 확실한 그래프 및 이미지의 하우스도르프 차원을 결정하는 것.
• 표준 Brown 운동 $ B $ 에 대해 $ B + f $ 의 하우스도르프 차원이 $ \max\{\dim(\mathrm{Gr}(B)), \dim(\mathrm{Gr}(f))\} $ 를 엄격히 초월할 수 있는지 여부를 밝히는 것.
• 자기유사 그래프에서 민코프스키 차원과 하우스도르프 차원 사이의 엄격한 부등식이 Brown 운동에 의한 랜덤 외란 하에서도 유지되는지 조사하는 것.
• McMullen-Bedford 카펫을 통해 구성된 자기유사 함수의 그래프에 대해, 분수 Brown 운동 외란 하에서의 명시적 차원 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간과 공간 척도가 각각 $ \delta $ 와 $ \delta^H $ 인 직사각형에서 정의된 $ H $-포물형 $ \beta $-차원 콘텐츠를 통한 포물형 하우스도르프 차원의 변형을 도입한다.
• $ \mathrm{Gr}_A(f) $ 의 $ H $-포물형 하우스도르프 차원, 즉 $ \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $ 를 키 파rameter로 하여 $ \mathrm{Gr}_A(X+f) $ 와 $ \mathcal{R}_A(X+f) $ 의 차원을 표현한다.
• 공식 $ \dim(\mathrm{Gr}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, \alpha + d(1-H)\} $ 과 $ \dim(\mathcal{R}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, d\} $ 을 적용하며, 여기서 $ \alpha = \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $ 이다.
• 다항식 구조를 가진 자기유사 McMullen-Bedford 카펫을 분석하기 위해, 이중 직사각형 위의 측도의 에르고딕 평균과 재귀적 구성법을 사용하여 그래프의 포물형 차원을 계산한다.
• 강한 법칙의 대수를 적용하여, 지수 $ \theta = \log 2 / \log 6 $ 인 헬더 연속 함수 $ f $ 의 포물형 차원을 계산한다.
• 카우치-슈바르츠 부등식과 젠센 부등식을 사용하여 $ \mathrm{Gr}(B+f) $ 의 하우스도르프 차원과 민코프스키 차원을 비교하며, 행 수 $ r_j $ 가 모두 동일하지 않을 경우 엄격한 부등식이 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Brown 운동 $ B $ 에 대해, $ B + f $ 의 그래프의 하우스도르프 차원이 $ B $ 와 $ f $ 의 차원의 최댓값을 엄격히 초월할 수 있는가?
• RQ2 $ f $ 가 행 수가 서로 다른 자기유사 함수일 경우, $ \mathrm{Gr}(B+f) $ 의 민코프스키 차원이 $ \mathrm{Gr}(f) $ 의 민코프스키 차원과 동일한가?
• RQ3 자기유사 그래프에 대해, $ f $ 의 포물형 하우스도르프 차원을 명시적으로 계산할 수 있으며, 이는 $ \mathrm{Gr}(X+f) $ 의 차원이 $ X $ 나 $ f $ 각각의 차원보다 엄격히 큰가?
• RQ4 자기유사 그래프에서 민코프스키 차원과 하우스도르프 차원 사이의 엄격한 부등식이 Brown 운동에 의한 외란 하에서도 유지되는가?

주요 결과

• 지수 $ \theta = \log 2 / \log 6 $ 인 헬더 연속 함수 $ f $ 에 대해, $ \mathrm{Gr}(f) $ 의 포물형 하우스도르프 차원은 $ \frac{1}{2} \log_2(5^{2\theta} + 1) $ 이다.
• $ \mathrm{Gr}(B + f) $ 의 하우스도르프 차원은 $ \frac{\log_2(5^{2\theta} + 1) + 1}{2} $ 이며, 이는 $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) = \log_2(5^\theta + 1) $ 과 $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) = 3/2 $ 를 모두 엄격히 초월한다.
• 패턴 $ D $ 를 가진 자기유사 그래프 $ \mathrm{Gr}(f) $ 에 대해, $ \mathrm{Gr}(X + f) $ 의 차원은 $ 1 - H + H \log_m \left( \sum_{j=0}^{m-1} r(j)^{\log_n m / H} \right) $ 이며, 여기서 $ H < \log_n m $ 이다.
• 행 수 $ r_j $ 가 모두 동일하지 않을 경우, $ \mathrm{Gr}(B+f) $ 의 민코프스키 차원은 $ \mathrm{Gr}(f) $ 와 동일하지만, 하우스도르프 차원은 $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) $ 와 $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) $ 를 모두 엄격히 초월한다.
• 랜덤 외란이 가해져도, $ \mathrm{Gr}(B+f) $ 의 민코프스키 차원과 하우스도르프 차원은 다를 수 있으며, 민코프스키 차원이 엄격히 더 클 수 있다.
• 이미지 $ \mathcal{R}_A(X+f) $ 의 차원은 $ \min\{\alpha/H, d\} $ 이며, 여기서 $ \alpha $ 는 $ \mathrm{Gr}_A(f) $ 의 포물형 차원이다.