[논문 리뷰] Dimension preserving approximation

Saurabh Verma, Peter Massopust|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 [0,1]에서 연속 함수를 근사하는 데 있어 유한한 차원을 유지하는 방법을 제안한다. 이 방법은 근사 과정에서 도함수의 프랙탈 차원이 유지되도록 한다. 논문은 베르슈타인 다항근사가 일반적으로 함수 도함수의 하우스도르프 차원을 유지하지 못함을 보이며, 리프시츠 변형과 제약 조건을 갖춘 연장 방법을 사용하여 원래 함수와 동일한 프랙탈 차원을 갖는 근사 함수의 그래프를 구성하는 새로운 방법을 제안한다.

ABSTRACT

This article introduces the novel notion of dimension preserving approximation for continuous functions defined on $[0,1]$ and initiates the study of it. Restrictions and extensions of continuous functions in regards to fractal dimensions are also investigated.

연구 동기 및 목표

• 연속 함수에 대한 차원 유지 근사의 개념을 [0,1]에서 정의하고 공식화하는 것, 특히 그 그래프의 프랙탈 차원에 초점을 맞춘다.
• 베르슈타인 다항근사와 같은 전통적 근사 방법이 도함수의 프랙탈 차원을 유지하는 데에 한계가 있음을 조사하는 것.
• 연속 함수의 확장을 및 제약 조건을 적용함으로써 그래프의 지정된 프랙탈 차원을 유지하는 것.
• 그래프의 하우스도르프 및 패킹 차원을 사전에 지정한 연속 함수의 존재를 보장하는 결과를 수립하는 것.
• [0,1]의 컴act 부분집합에서 정의된 함수를 전체 구간으로 확장할 때, 확장된 그래프의 프랙탈 차원을 제어할 수 있는 구축 가능한 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 함수의 리프시츠 변형을 이용한 차원 유지 근사의 개념을 도입하며, 연속 함수에 리프시츠 함수를 더함으로써 그래프의 하우스도르프 및 패킹 차원이 유지됨을 보여준다.
• 레마 3.1을 적용하여, $ g $가 리프시츠이고 $ f $가 연속일 때 $ f + g $의 그래프와 $ G_g $의 하우스도르프 및 패킹 차원이 동일함을 증명한다.
• 하우스도르프 및 패킹 차원의 가산 안정성 성질을 활용하여, 가산 개의 구간으로 이루어진 합집합 위에서 확장된 함수의 그래프 차원을 분석한다.
• 레마 4.5를 사용하여, 리프시츠 함수를 이용해 컴act 부분집합에서 정의된 함수를 확장함으로써, 임의의 $ \beta \in [1,2] $에 대해 지정된 하우스도르프 차원 $ \beta $를 갖는 [0,1]에서의 연속 함수를 구성한다.
• 정리 4.6을 적용하여, $ X \subset [0,1] $이 [0,1]의 진부분 컴act 집합이고 $ f $가 $ X $에서 연속일 때, $ \tilde{f} $를 [0,1]에서 정의하여 $ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $가 되도록 확장한다. 여기서 $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $이다.
• 프랙탈 차원의 유한 안정성 및 가산 안정성을 활용하여, 확장된 그래프의 차원을 원래 정의역과 추가된 구간의 기여도로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르슈타인 다항근사와 같은 전통적 근사 방법이 함수 도함수의 프랙탈 차원을 유지할 수 있는가?
• RQ2 연속 함수의 근사에서 그래프의 프랙탈 차원을 유지하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 [0,1]의 컴act 진부분집합에서 정의된 연속 함수는 전체 구간으로 확장하여 그래프의 지정된 프랙탈 차원을 갖도록 할 수 있는가?
• RQ4 모든 $ \beta \in [1,2] $에 대해, 그래프의 하우스도르프 차원이 정확히 $ \beta $인 [0,1]에서의 연속 함수가 존재하는가?
• RQ5 함수의 그래프에 대한 하우스도르프 및 패킹 차원은 컴act 부분집합으로 제약을 가할 때와 전체 구간으로 확장할 때 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 베르슈타인 다항근사에서는 도함수의 프랙탈 차원이 유지되지 않는다: $ B_n(f) \to f $ 및 $ (B_n(f))' \to f' $는 균일 수렴하지만, $ \dim G_{(B_n(f))'} = 1 $이 되며, 이는 $ \dim G_{f'} > 1 $일 때에도 마찬가지다.
• 연속 함수에 리프시츠 함수를 더하면 그래프의 하우스도르프 및 패킹 차원이 유지된다: $ \dim_H G_{f+g} = \dim_H G_g $ 및 $ \dim_P G_{f+g} = \dim_P G_g $.
• 모든 $ \beta \in [1,2] $에 대해, $ \dim_H G_f = \beta $를 만족하는 연속 함수 $ f \in \mathcal{C}[0,1] $이 존재하며, 패킹 차원에 대해서도 마찬가지다.
• 컴act 진부분집합 $ X \subset [0,1] $에서 정의된 연속 함수 $ f $는 $ \tilde{f} \in \mathcal{C}[0,1] $로 확장되어, 임의의 $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $에 대해 $ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $가 되도록 할 수 있다.
• 패킹 차원 역시 이와 유사하게 가산 안정성 덕분에 이러한 확장 과정에서 유지되며, 하우스도르프 차원과 유사하게 작용한다.
• 모든 $ \beta \leq \dim_H G_f $에 대해, $ \dim_H G_f(K) = \beta $를 만족하는 컴act 부분집합 $ K \subset [0,1] $이 존재한다. 이는 임의의 중간 프랙탈 차원을 갖는 부분집합의 존재를 보여준다.