[논문 리뷰] Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to $L^2$-Betti numbers

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|1997. 07. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 von Neumann 대수에서의 임의의 모듈러스에 대해 일반화된 차원 함수를 도입하여 고전적 von Neumann 차원을 비프로젝티브 모듈러스로 확장하고, 덧셈성과 연속성과 같은 핵심 성질을 유지한다. 이를 통해离산 군 작용을 갖는 임의의 위상공간에 대해 $L^2$-베티 수를 정의하며, 아메vable 군의 경우 이러한 불변량이 단지 정칙 호모로지의 군환 모듈러스 구조에 의존하며, 저차수의 $L^2$-베티 수의 영성 결과와 그로텐디크 군 및 버너사이드 군 내에서의 새로운 구조를 규명한다.

ABSTRACT

We define for arbitrary modules over a finite von Neumann algebra $\cala$ a dimension taking values in $[0,\infty]$ which extends the classical notion of von Neumann dimension for finitely generated projective $\cala$-modules and inherits all its useful properties such as additivity, cofinality and continuity. This allows to define $L^2$-Betti numbers for arbitrary topological spaces with an action of a discrete group $Γ$ extending the well-known definition for regular coverings of compact manifolds. We show for an amenable group $Γ$ that the $p$-th $L^2$-Betti number depends only on the $\ccΓ$-module given by the $p$-th singular homology. Using the generalized dimension function we detect elements in $G_0(\ccΓ)$, provided that $Γ$ is amenable. We investigate the class of groups for which the zero-th and first $L^2$-Betti numbers resp. all $L^2$-Betti numbers vanish. We study $L^2$-Euler characteristics and introduce for a discrete group $Γ$ its Burnside group extending the classical notions of Burnside ring and Burnside ring congruences for finite $Γ$. Keywords: Dimension functions for finite von Neumann algebras, $L^2$-Betti numbers, amenable groups, Grothendieck groups, Burnside groups

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 프로젝티브 모듈러스에서의 고전적 von Neumann 차원을 유한 von Neumann 대수 위의 임의의 모듈러스로 확장한다.
• 단지 컴act 다양체의 정규 코팅이 아닌, 이산 군 작용을 갖는 임의의 위상공간에 대해 $L^2$-베티 수를 정의한다.
• 군 $\Gamma$가 아메vable일 경우, $L^2$-베티 수가 정칙 호모로지의 $\mathbb{C}\Gamma$-모듈러스 구조에 의존하는지 조사한다.
• 일반화된 차원 함수를 사용하여 그로텐디크 군 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 내의 원소를 탐지한다.
• 저차수에서의 $L^2$-베티 수의 영성과 이산 군에 대해 버너사이드 군을 연구한다.

제안 방법

• 유한 von Neumann 대수 $\mathcal{A}$ 위의 임의의 모듈러스에 대해 $[0,\infty]$ 값을 갖는 차원 함수를 도입하며, 이는 고전적 von Neumann 차원을 확장한다.
• 이 일반화된 차원이 덧셈성, 연속성, 공종성(코프리모르피즘)을 갖는다는 것을 증명하여 호모로지 응용에 대한 강건성을 확보한다.
• 이 차원 함수를 사용하여 정칙 호모로지의 $\mathcal{A}$-모듈러스 구조를 통해 이산 군 작용을 갖는 위상공간의 $L^2$-베티 수를 정의한다.
• 차원 함수를 사용하여 아메vable 군 $\Gamma$의 경우, $p$-번째 $L^2$-베티 수가 단지 $p$-번째 정칙 호모로지의 $\mathbb{C}\Gamma$-모듈러스에 의존한다는 것을 보인다.
• 이를 위해 $L^2$-불변량을 사용하여 고전적 버너사이드 링 개념을 일반화한 이산 군 $\Gamma$에 대한 버너사이드 군을 구성한다.
• 제로차수 및 첫 번째 $L^2$-베티 수가 영이 되는 군의 집합을 분석하며, 더 일반적으로 모든 $L^2$-베티 수가 영이 되는 경우를 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고전적 von Neumann 차원을 유한 von Neumann 대수 위의 임의의 모듈러스로 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 군 작용을 갖는 공간의 $L^2$-베티 수가 그 호모로지의 $\mathbb{C}\Gamma$-모듈러스 구조에 의존하도록 보장하는가?
• RQ3 어떤 이산 군의 클래스에서 제로차수 및 첫 번째 $L^2$-베티 수가 영이 되는가?
• RQ4 일반화된 차원 함수를 통해 그로텐디크 군 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 내의 원소를 어떻게 탐지할 수 있는가?
• RQ5 이산 군 $\Gamma$에 관련된 버너사이드 군의 구조는 무엇이며, $L^2$-불변량과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 일반화된 차원 함수는 고전적 von Neumann 차원을 유한 von Neumann 대수 위의 임의의 모듈러스로 확장하며, 덧셈성, 연속성, 공종성을 유지한다.
• 아메vable 군 $\Gamma$의 경우, $\Gamma$-작용을 갖는 공간의 $p$-번째 $L^2$-베티 수는 $p$-번째 정칙 호모로지 군의 $\mathbb{C}\Gamma$-모듈러스 구조에 의존한다.
• 군 $\Gamma$가 아메vable일 경우, 일반화된 차원 함수를 사용하여 그로텐디크 군 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 내의 비자명한 원소를 탐지한다.
• 분류공간의 $\ell^2$-호모로지가 그 차수에서 자명한 군의 경우 제로차수 및 첫 번째 $L^2$-베티 수는 영이 된다.
• 논문은 고전적 버너사이드 링 구성의 일반화로서 이산 군 $\Gamma$에 대해 버너사이드 군을 도입하며, 이를 $L^2$-불변량과 연결한다.