[논문 리뷰] Dimensional characteristics of invariant measures for circle diffeomorphisms

Victoria Sadovskaya|ArXiv.org|2008. 09. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리우빌 회전 수를 가진 $C^{\infty}$ 원주 미분형사들을 구성하여, 유일한 불변 측도가 매우 비정규적인 차원 행동을 보이게 한다: 점별 차원과 박스 차원은 거의 확실히 존재하지 않으며, 하한 점별 차원과 하한 박스 차원은 임의의 사전에 지정된 값 $\beta \in [0,1]$과 같아진다. 이 구성은 정밀한 양적 추정을 포함한 아노소프-카토크 방법의 개선된 형태를 사용하여 측도의 국소적 스케일링 성질을 정확히 제어한다.

ABSTRACT

We consider pointwise, box, and Hausdorff dimensions of invariant measures for circle diffeomorphisms. We discuss the cases of rational, Diophantine, and Liouville rotation numbers. Our main result is that for any Liouville number $τ$ there exists a $C^\infty$ circle diffeomorphism with rotation number $τ$ such that the pointwise and box dimensions of its unique invariant measure do not exist. Moreover, the lower pointwise and lower box dimensions can equal any value $0\le β\le 1$.

연구 동기 및 목표

• 이rrational 회전 수를 가진 원주 미분형사들의 불변 측도에 대한 차원 특성—점별, 박스, 하우스도르프—을 조사한다.
• 리우빌 회전 수의 경우, 즉 유리수로 빠르게 근사 가능한 경우, 비균일 역학을 유도하는 것으로 알려진 경우의 이러한 차원의 행동을 해결한다.
• 주어진 리우빌 회전 수를 가진 명시적인 $C^\infty$ 미분형사들을 구성하여, 불변 측도의 점별 차원과 박스 차원이 거의 확실히 존재하지 않도록 한다.
• 불변 측도의 하한 점별 차원과 하한 박스 차원이 임의의 값 $\beta \in [0,1]$과 같아지도록 할 수 있음을 보인다.

제안 방법

• 사전에 지정된 회전 수를 가진 $C^\infty$ 미분형사들을 구성하기 위해 아노소프-카토크 방법의 개선된 형태를 사용한다.
• 구성은 $C^\infty$ 미분형사들의 수열 $h_n$을 통해 반복적으로 진행되며, 각각 최종 지도 $h$를 근사하고, 왜곡과 스케일링을 통제한다.
• 불변 측도 $\mu$는 레베그 측도를 $h_n$에 따라 옮긴 결과의 약한 극한으로 정의되며, 에르고딕성과 유일성을 보장한다.
• 측도의 국소적 스케일링 성질을 제어하기 위해 간격의 스케일링과 코어지네이팅 지도 $h$의 연속성 모듈러스에 대한 정량적 추정을 사용한다.
• 하나의 유도법을 통해 $h$의 호일더 연속성과 지수 $\beta$를 증명하여 거의 확실히 $\underline{d}_\mu(x) \geq \beta$임을 보장한다.
• 빠르게 작아지는 간격 $E_n$을 사용하여 작은 구에서 측도의 감쇠를 통제함으로써, 거의 확실히 $\overline{d}_\mu(x) = 1$임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점별 차원이 거의 확실히 존재하지 않을 수 있는가? 즉, $C^\infty$ 원주 미분형사에서 불변 측도의 점별 차원이 거의 확실히 존재하지 않으며, 시스템이 유일하게 에르고딕한 경우에도 그렇다.
• RQ2 리우빌 회전 수에 대해, 불변 측도의 하한 점별 차원을 임의의 사전에 지정된 값 $\beta \in [0,1]$으로 만들 수 있는가?
• RQ3 주어진 리우빌 회전 수를 가진 $C^\infty$ 원주 미분형사들을 구성할 수 있는가? 이 경우 불변 측도의 하한 및 상한 박스 차원이 다를 수 있는가?
• RQ4 회전 수의 디오판틴 또는 리우빌 성격과 불변 측도의 점별 차원 존재성 또는 존재하지 않음 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 리우빌 경우에서 하우스도르프 차원과 박스 차원이 불변 측도에서 다를 수 있는가?

주요 결과

• 모든 리우빌 수 $\tau$와 모든 $\beta \in [0,1]$에 대해, 회전 수가 $\tau$인 $C^\infty$ 원주 미분형사가 존재하여, $\mu$-거의 모든 $x \in S^1$에 대해 하한 점별 차원 $\underline{d}_\mu(x) = \beta$ 이고 상한 점별 차원 $\overline{d}_\mu(x) = 1$이 된다.
• 불변 측도 $\mu$에 대해 하한 박스 차원 $\underline{\dim}_B \mu = \beta$ 이고 상한 박스 차원 $\overline{\dim}_B \mu = 1$이다.
• 하우스도르프 차원 $\dim_H \mu = \beta$이며, 이는 하한 박스 차원과 일치한다.
• 점별 차원이 거의 확실히 존재하지 않는 이유는 $\mu$-거의 모든 $x$에 대해 $\underline{d}_\mu(x) = \beta < 1 = \overline{d}_\mu(x)$ 이기 때문이다.
• 구성은 하한 점별 차원과 하한 박스 차원에 대해 $\beta \in [0,1]$의 모든 가능한 값을 명시적으로 실현하며, 비균일한 차원 행동의 전체 범위를 보여준다.
• 불변 측도는 레베그 측도와 비슷하지 않으며, 그 차원이 1보다 작기 때문에 레베그 측도에 대해 비특이적이다.