[논문 리뷰] Dimensions of random covering sets in Riemann manifolds

De‐Jun Feng, Esa Järvenpää외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비특이 측도를 가진 다변량에서 독립 변수에 의해 무작위로 위치가 정해지는 집합들로 구성된 무작위 커버링 집합의 거의확실한 하우스도르프 차원에 대한 공식을 수립한다. 생성 집합의 조건과 위치의 비특이 분포 하에서, 패킹 차원은 거의확실하게 d임을 증명한다.

ABSTRACT

Let ${\pmb M}$, ${\pmb N}$ and ${\pmb K}$ be $d$-dimensional Riemann manifolds. Assume that ${\bf A}:=(A_n)_{n\in{\Bbb N}}$ is a sequence of Lebesgue measurable subsets of ${\pmb M}$ satisfying a necessary density condition and ${\bf x}:=(x_n)_{n\in {\Bbb N}}$ is a sequence of independent random variables which are distributed on ${\pmb K}$ according to a measure which is not purely singular with respect to the Riemann volume. We give a formula for the almost sure value of the Hausdorff dimension of random covering sets ${\bf E}({\bf x},{\bf A}):=\limsup_{n o\infty}A_n(x_n)\subset {\pmb N}$. Here $A_n(x_n)$ is a diffeomorphic image of $A_n$ depending on $x_n$. We also verify that the packing dimensions of ${\bf E}({\bf x},{\bf A})$ equal $d$ almost surely.

연구 동기 및 목표

• 다양한 리만 다변량에서 가측 집합의 무작위로 위치된 이미지로 형성된 무작위 커버링 집합의 거의확실한 하우스도르프 차원의 값을 결정하는 것.
• 해당 무작위 집합의 패킹 차원이 거의확실하게 다변량 차원 d와 같아지는 조건을 설정하는 것.
• 이전의 토러스 설정에서의 결과를 일반 리만 다변량으로 확장하여, limsup 집합과 무작위 커버링의 일반화를 이루는 것.
• 하우스도르프 차원에 대한 게이지 함수와 생성 집합의 측도를 포함하는 급수를 이용한 공식 제공.
• 일반적인 르베그 가측 생성 집합의 경우 차원 수준 집합의 가측성 문제를 다루는 것.

제안 방법

• limsup 구성 사용: E(x,A) = limsup_{n→∞} A_n(x_n), 여기서 A_n(x_n)은 랜덤 점 x_n에 따라 달라지는 A_n의 미분동형 이미지이다.
• 거의확실한 성질 분석을 위해 보렐-칸텔리 보조정리와 푸비니 정리를 적용한다.
• 게이지 함수 h를 도입하고, A_n의 측도와 관련된 양 G_h(A_n)를 정의하여 차원 행동을 제어한다.
• 수정된 하우스도르프 측도 H^h와 무한 하우스도르프 콘텐츠 H_∞^h를 사용하여 급수 수렴을 통해 차원을 분석한다.
• 이중 게이지 함수와 선형 보간을 사용하여 필요한 정규성 조건을 만족하는 등가 게이지 함수를 구성한다.
• 지오메트릭 측도 이론의 결과, 특히 델라체리와 매틸라-모울딘의 결과를 활용하여 차원 수준 집합의 가측성 문제를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 다변량에서 가측 집합의 무작위로 위치된 이미지로 형성된 무작위 커버링 집합의 거의확실한 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 무작위 커버링 집합의 패킹 차원이 거의확실하게 다변량 차원 d와 같아지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 급수 ∑G_h(A_n)의 수렴 또는 발산은 무작위 커버링 집합의 양의 H^h-측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 무작위 커버링 집합의 차원은 거의확실하게 일정한가? 그리고 수준 집합의 가측성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 조건 ∑G_h(A_n) = ∞는 ∑H_∞^h(A_n) = ∞로 대체될 수 있는가? 그리고 부등식 H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)는 성립하는가?

주요 결과

• 무작위 커버링 집합 E(x,A)의 거의확실한 하우스도르프 차원은 h(r) = r^s일 때 ∑G_h(A_n)이 발산하는 임계 지수 s로 주어진다.
• E(x,A)의 패킹 차원은 거의확실하게 환경 리만 다변량의 차원 d와 같다.
• 게이지 함수 h에 대해 ∑G_h(A_n) = ∞이면, 거의확실하게 H^h(E(x,A)) > 0이며, 더 느린 게이지 h'에 대해 급수가 발산하면 거의확실하게 H^h(E(x,A)) = ∞이다.
• r ↦ h(r)r^{−d+ε}가 감소함으로써 증명 과정에서 측도 항을 추정하는 데 필요한 정규성 조건이 확보된다.
• 일반적으로 부등식 H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)는 성립하지 않으며, H_∞^h와 G_h의 이질적인 渐近 행동으로 인해 공구의 경우조차도 성립하지 않는다.
• A_n이 해석적 집합이라면 수준 집합 F_s = {x : dim E(x,A) = s}는 해석 집합이 생성하는 시그마 대수에 대해 가측적이지만, 일반적인 르베그 가측 A_n에 대해서는 가측성 문제가 열려 있다.