[논문 리뷰] Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces

Lior Fishman, David Simmons외 1명|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|2013. 01. 23.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 87인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 Gromov 초구형 거리공간에서 작용하는 군의 극한집합에서 디오판틴 대수적 근사 이론을 종합적으로 수립하며, 기하학적으로 유한한 군이나 유한차원 공간을 초월해 고전적 결과들인 키친의 정리와 자르니크–베식로비치 정리의 일반화를 이룬다. 분할 구조와 색드의 게임을 사용한 통합적 프레임워크를 도입하여, 나쁜 근사점 집합이 절대 승리 집합임을 증명하고, 군이 쐐기형-콤���터일 경우를 제외하고는 반경극한집합이 패트릭슨–수얼리먼 측도를 가질 수 없다고 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a complete theory of Diophantine approximation in the limit set of a group acting on a Gromov hyperbolic metric space. This summarizes and completes a long line of results by many authors, from Patterson's classic '76 paper to more recent results of Hersonsky and Paulin ('02, '04, '07). Concrete examples of situations we consider which have not been considered before include geometrically infinite Kleinian groups, geometrically finite Kleinian groups where the approximating point is not a fixed point of the group, and groups acting on infinite-dimensional hyperbolic space. Moreover, in addition to providing much greater generality than any prior work of which we are aware, our results also give new insight into the nature of the connection between Diophantine approximation and the geometry of the limit set within which it takes place. Two results are also contained here which are purely geometric: a generalization of a theorem of Bishop and Jones ('97) to Gromov hyperbolic metric spaces, and a proof that the uniformly radial limit set of a group acting on a proper geodesic Gromov hyperbolic metric space has zero Patterson--Sullivan measure unless the group is quasiconvex-cocompact. The latter is an application of a Diophantine theorem.

연구 동기 및 목표

• 기하학적으로 유한한 군이나 유한차원 공간에 제한되지 않은, 일반적인 Gromov 초구형 거리공간에서 작용하는 강력히 이산적인 군에 대해 고전적 디오판틴 대수적 근사 정리들—키친의 정리와 자르니크–베식로비치 정리—를 일반화하는 것.
• 기하학적 유한성, 적절성, 공간의 유한차원성 등의 제약 조건을 제거하여 기하학적으로 무한한 클라인 군과 무한차원 초구형 공간 등 새로운 케이스를 포함하는 것.
• 극한집합의 구조와 근사의 디오판틴 성질 사이의 기하학적 연결 고리를 명확히 하여, 반경극한집합의 하우스도르프 콘텐츠 감쇠율과 극한집합 내 점들의 디오판틴 근사 성질 간의 관계를 규명하는 것.
• 디오판틴 정리를 핵심 도구로 사용하여, 군이 쐐기형-콤파クト일 경우를 제외하고는 균일 반경극한집합이 패트릭슨–수얼리먼 측도를 가질 수 없다는 것을 증명하는 것.
• 분할 구조와 색드의 게임을 사용한 일반적 프레임워크를 수립하여 이전 결과들을 통합하고 강화하는 것.

제안 방법

• Gromov 초구형 공간의 경계에 분할 구조를 구성하여 근사 역학을 모델링하고 승리 집합을 정의한다.
• 색드의 게임과 절대 승리 개념을 적용하여, 반경극한집합 내 임의의 $\xi$에 대해 나쁜 근사점 집합 $\mathrm{BA}_{\xi}$ 가 절대 승리 집합임을 보인다.
• 잠재력 함수 게임을 사용하여 궤도 수세기의 성장률을 통제하고 근사 집합의 측도에 대한 渐近적 추정을 도출한다.
• 패트릭슨–수얼리먼 측도의 감쇠율과 반경극한집합의 차원 간의 관계를 연결함으로써 비숍–존슨 정리를 Gromov 초구형 거리공간으로 일반화한다.
• 색드의 게임에서 위치 전략을 활용하여 앨리스가 궤도점 주위의 $\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-공을 피할 수 있음을 보장함으로써, 결과가 나쁜 근사임을 증명한다.
• 아흐르포르스 정규성과 균일한 완전성 조건을 활용하여, 구성된 분할 구조가 $t < s$ 에 대해 $t$-두껍게 구성됨을 확인하고, 승리 집합 내에서 아흐르포르스 $t$-정규 부분집합을 구성할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적으로 유한하지 않은 군이나 유한차원 공간이 아닌 일반적인 Gromov 초구형 거리공간에서 작용하는 강력히 이산적인 군에 대해 고전적 디오판틴 대수적 근사 정리들을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 반경극한집합의 하우스도르프 콘텐츠 감쇠율과 극한집합 내 점들의 디오판틴 근사 성질 사이의 정확한 기하학적 관계는 무엇인가?
• RQ3 균일 반경극한집합이 양의 패트릭슨–수얼리먼 측도를 가지는 조건은 무엇이며, 언제는 0이 되는가?
• RQ4 색드의 게임을 통한 절대 승리 개념을 기하학적으로 유한하지 않은 군과 비적절한 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 분할 구조와 승리 집합은 metric space 내 승리 집합 안에 아흐르포르스 정규 부분집합을 얼마나 넓게 구성하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 반경극한집합 내 점 $\xi$ 에 대해 정의된 나쁜 근사점 집합 $\mathrm{BA}_{\xi}$ 는 공간의 Gromov 경계에서 절대 승리 집합이다.
• 자르니크–베식로비치 정리는 반경극한집합 내 잘 근사 가능한 점들의 하우스도르프 차원이 반경극한집합의 콘텐츠 감쇠율에 의해 결정됨을 보여주는 일반화된 형태로 확장된다.
• 키친의 정리는 Gromov 초구형 공간으로 확장되어, 합 $\sum_{g \in G} \psi(d(o, g^{-1}(x)))$ 의 수렴 또는 발산 여부를 근사 함수 $\psi$ 에 따라 기준화한다.
• 적절한 기하직선 Gromov 초구형 거리공간에서 작용하는 군의 균일 반경극한집합은 군이 쐐기형-콤파クト일 경우를 제외하고는 패트릭슨–수얼리먼 측도를 가진다.
• 모든 아흐르포르스 $s$-정규 metric space 와 임의의 $t < s$ 에 대해, 그 한계집합이 임의의 승리 집합 내에 포함되는 $t$-두껍게 구성된 분할 구조가 존재하며, 이는 그러한 집합 내에 아흐르포르스 $t$-정규 부분집합이 존재함을 의미한다.
• 논문은 위치 전략과 분리된 공 집합을 사용하여 색드의 게임에서 승리 전략을 구성하여, 결과가 궤도점 주위의 $\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-공을 피함을 보장함으로써 $\eta \in \mathrm{BA}_{\xi}$ 임을 증명한다.