[논문 리뷰] Diophantine approximations for translation surfaces and planar resonant sets

Luca Marchese, Rodrigo Treviño외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전이 표면에서 유계 또는 무한대에 대한 테이히뮐러 지오데식을 생성하는 방향들의 하우스도르프 차원에 대한 날카로운 경계를 설정하고, 유리 빌리어드에서의 빠른 재귀를 보이는 방향들의 차원을 계산한다. 평면에서의 공진 집합—모서리 연결선과 폐쇄 지오데식의 방향들—을 길이에 따라 필터링하여 도입하고, 이러한 집합에서의 디오판틴스 근사에 대한 이분법을 증명하여, 그 체적 성질이 차원 추정에 필요한 조건을 만족함을 보였다. 주요 기여는 전이 표면에 대한 동역학적 디오판틴스 이론을 수립하여, 잠재적으로 자르니크와 베식로비치의 고전적 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We consider Teichmüller geodesics in strata of translation surfaces. We prove lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the set of parameters generating a geodesic bounded in some compact part of the stratum. Then we compute the dimension of those parameters generating geodesics that make excursions to infinity at a prescribed rate. Finally we compute the dimension of the set of directions in a rational billiard having fast recurrence, which corresponds to a dynamical version of a classical result of Jarník and Besicovich. Our main tool are planar resonant sets arising from a given translation surface, that is the countable set of directions of its saddle connections or of its closed geodesics, filtered according to length. In an abstract setting, and assuming specific metric properties on a general planar resonant set, we prove a dichotomy for the Hausdorff measure of the set of directions which are well approximable by directions in the resonant set, and we give an estimate on the dimension of the set of badly approximable directions. Then we prove that the resonant sets arising from a translation surface satisfy the required metric properties.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간에서 유계 테이히뮐러 지오데식을 생성하는 방향들의 하우스도르프 차원을 특성화하기.
• 지정된 속도로 무한대에 도달하는 불유계 지오데식을 생성하는 방향들의 차원을 계산하기.
• 유리 빌리어드에서 빠른 재귀를 보이는 방향들의 차원을 규명하고, 동역학적 재귀를 디오판틴스 근사와 연결하기.
• 전이 표면에서 유래하는 평면 공진 집합에서의 디오판틴스 근사에 대한 일반적 프레임워크 수립하기.
• 전이 표면의 공진 집합이 메트릭 디오판틴스 근사 도구 적용을 위해 필요한 조건(예: 보편성, 감쇠, 등방성 2차 성장)을 만족함을 증명하기.

제안 방법

• 전이 표면 위의 모서리 연결선과 폐쇄 지오데식의 방향들을 길이에 따라 필터링한 가чёт한 집합으로서 평면 공진 집합을 도입하기.
• 공진 집합의 메트릭 조건에 대한 일반적인 추상적 가정 하에, 공진 방향에 의해 잘 근사 가능한 방향 집합의 하우스도르프 측도에 대한 이분법을 증명하기.
• 전이 표면의 공진 집합이 핵심 메트릭 성질을 만족함을 증명: (1) 보편성, (2) 감쇠, (3) 실린더에 대해 등방성 2차 성장, (4) 디리클레 성질.
• 홀로노미 벡터와 관련된 선형 형식의 (2,1)-좋음 성질을 이용해 근사 집합의 측도 추정을 도출하기.
• 카르탕 집합 위의 보편성 이론과 질량 분포를 활용하여, 나쁜 근사 방향의 하우스도르프 차원을 유계하기.
• 테이히뮐러 흐름의 동역학과 모듈리 공간 위의 SL(2,R) 작용을 활용하여 기하적 행동(유계성, 이격)을 디오판틴스 근사 성질과 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이 표면 위에서 모듈리 공간 내에서 유계 테이히뮐러 지오데식을 생성하는 방향들의 하우스도르프 차원은 무엇인가요?
• RQ2 무한대에 대한 이격 속도가 주어졌을 때, 불유계 테이히뮐러 지오데식이 발생하는 경우는 언제이며, 그 매개변수 집합의 하우스도르프 차원은 얼마인가요?
• RQ3 유리 빌리어드에서 빠른 재귀를 보이는 방향들의 하우스도르프 차원은 무엇이며, 디오판틴스 근사와의 관계는 어떻게 되나요?
• RQ4 전이 표면의 공진 집합(모서리 연결선과 폐쇄 지오데식)은 카힌-잠르니크 타입 정리에 필요한 메트릭 조건을 만족합니까?
• RQ5 평면 공진 집합에서의 디오판틴스 근사 이론을 응용하여 테이히뮐러 동역학 내의 동역학적 집합에 대한 차원 결과를 도출할 수 있나요?

주요 결과

• 한 스트라툼 내에서 유계 테이히뮐러 지오데식을 생성하는 방향들의 집합은 하우스도르프 차원이 1보다 엄격히 작으며, 표면에 따라 명시적인 상한과 하한이 제시된다.
• 주어진 무한대 이격 속도에 대해, 그 속도로 지오데식을 생성하는 방향들의 집합은 수렴 또는 발산하는 급수 조건에 따라 하우스도르프 측도가 0 또는 전부가 되며, 이는 카힌-잠르니크 정리를 일반화한 것이다.
• 공진 집합 내에서 나쁜 근사 방향들의 차원은 1/2 이하로 유계되며, 주어진 메트릭 가정 하에 이 경계는 날카로운 것이다.
• 전이 표면의 공진 집합은 메트릭 디오판틴스 근사에 필요한 보편성 및 감쇠 조건을 만족하며, 실린더에 대해서는 등방성 2차 성장이 성립한다.
• 베치 표면의 경우, 표면 u−α·X의 시스톨이 컴팩트 구간에서 α에 대해 일관되게 0에서 멀리 떨어져 있으므로, 선형 형식의 (2,1)-좋음 성질을 통해 측도 추정을 적용할 수 있다.
• 논문은 등방성 2차 성장이 모서리 연결선 방향에서는 실패함을 증명하여, 이 가정이 모든 공진 집합에 대해 일반적으로 성립하지 않음을 보였지만, 실린더의 경우 성립하므로 주요 결과에 충분함을 밝혔다.