[논문 리뷰] Diophantine Approximations on Definable Sets

Philipp Habegger|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식적으로 유계인 o-미니멀 구조에서 정의 가능한 집합을 매우 작은 오차 내에서 근사하는 유한 차수와 높이를 가진 대수적 점의 수에 대해 균일한 상한을 확립한다. o-미니멀성, Łojasiewicz 부등식, 보조 함수 등의 도구를 사용하여 이러한 근사가 집합의 대수적 궤적 근처에 집중됨을 증명하며, T^ε 상한을 도출한다 — 이는 정의 가능한 집합 위에 있는 유리점에 대한 Pila-Wilkie 수세기 정리의 보완이다.

ABSTRACT

Consider the vanishing locus of a real analytic function on $\mathbb{R}^n$ restricted to $[0,1]^n$. We bound the number of rational points of bounded height that approximate this set very well. Our result is formulated and proved in the context of o-minimal structure which give a general framework to work with sets mentioned above. It complements the theorem of Pila-Wilkie that yields a bound of the same quality for the number of rational points of bounded height that lie on a definable set. We focus our attention on polynomially bounded o-minimal structures, allow algebraic points of bounded degree, and provide an estimate that is uniform over some families of definable sets. We apply these results to study fixed length sums of roots of unity that are small in modulus.

연구 동기 및 목표

• 정의 가능한 집합 위에 있지 않고 그 근처를 근사하는 유리점과 대수적 점에 대해 Pila-Wilkie 수세기 정리를 확장하기 위해.
• 정의 가능한 집합을 매우 작은 오차 내에서 근사하는 유한 차수와 높이를 가진 대수적 점의 수에 대해 균일한 상한을 확립하기 위해.
• 다항식적으로 유계인 o-미니멀 구조 내에서 작업하여 정의 가능한 집합의 가족 전반에 걸쳐 효과적이고 균일한 추정이 가능하도록 하기 위해.
• 이러한 결과를 디오판틴 문제에 적용하여, 특히 유리 각을 가진 단위근의 합이 작은 경우의 수를 유 bounds하기 위해.
• 이러한 근사가 정의 가능한 집합의 대수적 궤적 근처에 집중됨을 보여주며, 집합 위에 있는 점에 대한 Pila-Wilkie 현상과 유사함을 보이기 위해.

제안 방법

• o-미니멀 구조에서 정의 가능한 집합의 ε-근처를 통해 근사의 개념을 형식화한다.
• 실해석함수의 영점 집합으로부터 점까지의 거리를 제어하기 위해 Łojasiewicz 유형 부등식을 적용한다.
• o-미니멀 구조를 이용해 도함수의 성장률을 제어하고 Pila-Wilkie 프레임워크를 적용하기 위해 보조 함수를 구성한다.
• 준대수적 세포와 귀납적 구조를 사용하여 정의 가능한 집합을 복잡도가 통제된 조각들로 분해한다.
• Northcott 정리와 Liouville 부등식을 사용하여 유한 차수와 높이를 가진 대수적 점의 수를 유 bounds한다.
• 변수 수에 대한 귀납을 적용하여 단위근의 합을 분석하고 문제를 복잡도가 통제된 저차원 사례로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식적으로 유계인 o-미니멀 구조에서 정의 가능한 집합을 매우 작은 오차 내에서 근사하는, 유한 차수와 높이를 가진 대수적 점은 몇 개인가?
• RQ2 정의 가능한 집합 위에 있는 유리점에 대한 Pila-Wilkie 수세기 원리가 이러한 집합의 유리 근사로 확장될 수 있는가?
• RQ3 o-미니멀 구조에서 정의 가능한 집합의 가족 전반에 걸쳐 T^ε 상한의 균일성은 어떻게 되는가?
• RQ4 정의 가능한 집합에 대한 근사점들은 그 집합의 대수적 궤적과 관련하여 밀도와 분포 측면에서 어떻게 연결되는가?
• RQ5 이러한 상한은 유한한 합의 단위근을 유 bounds하는 디오판틴 문제에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 다항식적으로 유계인 o-미니멀 구조에서 닫힌 정의 가능한 집합 $X$에 대해, 차수 최대 $e$이고 높이 최대 $T$인 대수적 점 중 $X$를 $T^{- heta\theta\theta}$ 이내로 근사하는 점의 수는 임의의 $\theta > 0$에 대해 $cT^{\theta}$ 이하로 유 bounds된다.
• 만약 $X$가 양의 차원의 대수적 궤적을 가지지 않는 경우 ($X^{\text{alg}} = \bigcirc$), 이러한 근사 대수적 점의 수 역시 여전히 $cT^{\theta}$ 이하로 유 bounds되며, 이는 근사가 여전히 대수적 구조 근처에 집중됨을 보여준다.
• 상한은 정의 가능한 집합의 가족 전반에 걸쳐 균일하며, 상수는 집합, 차수 $e$, 및 $\theta$에만 의존한다.
• 결과는 단위근의 합에 적용된다: 고정된 $n$-단위근의 선형조합의 크기가 $p^{-\lambda}$ 이하인 소수 $p \leq T$의 개수는 충분히 큰 $c$와 $\lambda$에 대해 최대 $cT^{\epsilon}$ 이다.
• 증명은 Łojasiewicz 부등식과 귀납에 기반하며, 합이 작을 경우 해당 각도 튜플이 영점 집합의 대수적 궤적의 점에 가까워져야 한다는 것을 보여준다.
• 원래 Pila-Wilkie 정리의 전체 복잡성에 의존하지 않고 포함이 아닌 근사에 초점을 맞춤으로써 오차 매개변수에 대한 더 강한 균일성을 도출한다.