[논문 리뷰] Diophantine Approximations on Fractals

Manfred Einsiedler, Lior Fishman외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 중간 세분의 칸토어 집합과 대칭 평면 분수와 같은 특정 분수에서 거의 모든 점이 유한 패턴을 모두 포함하는 연속 분수 전개를 가지며, 이는 그것들이 잘 근사 가능하다는 것을 시사한다. 동역학 시스템 기법, 특히 대각선 및 쌍곡 작용에 대한 불변 측도를 사용하여, 저자는 분수에서 잘 근사 가능한 (WA), 딜레르트 개선 불가능한, 그리고 성질 C를 가진 벡터의 일반성(유형성)을 증명한다. 이는 하우스도르프 차원이 양수인 분수에 대해 성립한다.

ABSTRACT

We exploit dynamical properties of diagonal actions to derive results in Diophantine approximations. In particular, we prove that the continued fraction expansion of almost any point on the middle third Cantor set (with respect to the natural measure) contains all finite patterns (hence is well approximable). Similarly, we show that for a variety of fractals in [0,1]^2, possessing some symmetry, almost any point is not Dirichlet improvable (hence is well approximable) and has property C (after Cassels). We then settle by similar methods a conjecture of M. Boshernitzan saying that there are no irrational numbers x in the unit interval such that the continued fraction expansions of {nx mod1 : n is a natural number} are uniformly eventually bounded.

연구 동기 및 목표

• R과 R²의 분수 부분집합과 자연 측도 하에서 딜레르트 근사 클래스(WA, DI, C)의 교차를 조사하는 것.
• 일부 동역학 시스템에 대해 불변인 양수의 하우스도르프 차원을 가진 분수들이 딜레르트 클래스의 일반성 또는 영집합 성질을 상속하는지 여부를 규명하는 것.
• 보셔른리츠만의 추측을 해결하는 것: {nx mod 1}의 연속 분수 계수들이 균일하게 최종적으로 유계임을 보이는 것.
• 매끄러운 다양체에서의 메트릭 딜레르트 근사 결과를 자기유사성 또는 대칭적 구조를 가진 분수 집합으로 확장하는 것.

제안 방법

• 대각선 및 쌍곡 작용에 대한 불변 측도에 관한 Einsiedler, Lindenstrauss, Katok(2006) 및 Lindenstrauss(2006)의 측도 분류 결과를 활용한다.
• 모듈라 표면 PSL₂(R)/PSL₂(Z)에서의 기하선 흐름과 가우스 사상의 역학을 적용하여 연속 분수 전개를 궤도 행동과 연결한다.
• 단위 접선다발에서의 교차면 π(C)를 사용하여 가우스 사상을 모델링하고 첫 번째 재진입 역학을 분석함으로써 기호 역학과 연속 분수를 연결한다.
• 대각선 군 {at}과 유니포텐트 흐름 {uv}의 작용을 활용하여 궤도 분포를 통해 근사 성질을 분석한다.
• 엔트로피와 국소 차원 함수를 통한 측도의 정확한 차원 개념을 적용하여 하우스도르프 차원이 양수임을 보장한다.
• 마르코프 분할과 유한 타입의 부분시프트를 통해 문제를 기호 역학으로 환원하고, 측도를 분수 집합으로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ×n 또는 쌍곡 자기동형에 대해 불변인 하우스도르프 차원이 양수인 분수에서 잘 근사 가능한 벡터의 집합이 여전히 일반적인가?
• RQ2 R²의 대칭 분수에서 거의 모든 점이 딜레르트 개선 불가능하지 않으며, 캐슬스의 성질 C를 만족하는가?
• RQ3 칸토어 집합의 거의 모든 점에서의 연속 분수 전개가 모든 유한 패턴을 포함하는가?
• RQ4 연속 분수 계수가 균일하게 최종적으로 유계인 임의의 무리수 x ∈[0,1]가 존재하는가?

주요 결과

• 중간 세분의 칸토어 집합 C에 자연 하우스도르프 측도를 부여할 경우, 거의 모든 x ∈C는 모든 유한 패턴을 포함하는 연속 분수 전개를 가지며, 따라서 잘 근사 가능하다.
• 칸토어 집합과 나쁜 근사 수의 집합의 교차는 하우스도르프 차원 log 2 / log 3을 가지지만, C 상의 자연 측도에 대해 영집합이다.
• R²의 [0,1]² 내에서 하우스도르프 차원이 양수이고 쌍곡 자기동형에 대해 불변인 모든 분수에 대해, 거의 모든 점은 딜레르트 개선 불가능하지 않으며 캐슬스의 성질 C를 만족한다.
• R² 내 성질 C를 가진 벡터의 집합은 일반적이며, 이 일반성은 R² 내 대칭 분수에 대한 불변 측도에 의해 상속된다.
• 논문은 보셔른리츠만의 추측을 확인한다: 연속 분수 계수가 균일하게 최종적으로 유계인 무리수 x ∈[0,1]는 존재하지 않는다.
• 저자는 이러한 분수 집합에 대한 자연 측도가 정확한 차원을 가지며, 이 차원이 관련 동역학 시스템의 엔트로피와 연결됨을 증명한다.