[논문 리뷰] Dirac Charge Quantization and Generalized Differential Cohomology

Daniel S. Freed|ArXiv.org|2000. 11. 24.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 20인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 양자 게이지 이론에서 딜라크 전하 양자화를 기술하기 위해 일반화된 미분 코hom로지 체계를 제안한다. 전기 및 자석 전류를 코호몰로지 원소로, 게이지 장을 코체인으로 통합적으로 기술하며, 라몬-라몬 장(예: 타입 II 끈 이론에서의)과 2형 장(예: 타입 I에서의)과 같은 고차형 및 자기 dual 게이지 장의 전하가 K-이론과 KO-이론과 같은 일반화된 코호몰로지 이론에 의해 유도됨을 보여준다. 이 이론적 틀은 이상이 자연스럽게 기술되며, 이는 이론적 일관성을 확보한다.

ABSTRACT

The main new result here is the cancellation of global anomalies in the Type I superstring, with and without D-branes. Our argument here depends on a precise interpretation of the 2-form abelian gauge field using KO-theory; then the anomaly cancellation follows from a geometric form of the full Atiyah-Singer index theorem for families of Dirac operators. This is a refined version of the Green-Schwarz mechanism. It seems that a geometric interpretation of this mechanism-the cancellation of local and global fermion anomalies against local and global anomalies in the electric coupling of an abelian gauge field-always proceeds in a similar manner. For example, a previous paper with M. Hopkins (hep-th/0002027) explains the cancellation of anomalies in Type II with D-branes in these terms. The focal point of this paper is a general discussion about abelian gauge fields and Dirac charge quantization. Namely, we argue that quantization of charge is implemented in the functional integral by interpreting abelian gauge fields as cochains in a generalized differential cohomology theory. Our exposition includes elementary examples as well as examples from superstring theory. The mathematical underpinnings of differential cohomology are currently under development; we only give a sketch here. The anomaly cancellation in Type I depends on properties of a certain quadratic form in KO-theory, which we analyze in an appendix written jointly with M. Hopkins. In particular, the usual equation ``Tr R^2 = Tr F^2'' is refined to an equation in the KO-theory of spacetime.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 코호몰로지 이론을 넘어서는 기하학적 및 위상수학적 틀을 제공하여 양자 아벨 게이지 이론에서의 딜라크 전하 양자화를 일관되게 기술하는 것.
• 일반화된 미분 코호몰로지에 기반한 단일 이론 틀을 통해 전기 및 자석 전류, 게이지 장, 그리고 그들의 결합을 통합적으로 기술하는 것.
• 타입 II 초끈이론에서의 라몬-라몬 전하가 일반적인 코호몰로지가 아니라 미분 K-이론으로 자연스럽게 기술되는 이유를 설명하는 것.
• 자기 dual 게이지 장과 난이도 있는 코호몰로지(특히 배경 B-장이 존재하는 타입 I 초끈이론에서)에 대한 이론의 확장.
• 타입 I 이론에서의 전역 및 국소 이상이 게이지 장과 배경 전하에 대해 미분 KO-이론 틀 내에서 자연스럽게 보상됨을 보여주는 것.

제안 방법

• Cheeger-Simons 문자와 매끄러운 Deligne 코호몰로지 등을 기초 도구로 사용하여, 일반화된 미분 코호몰로지 이론에서 게이지 장과 전류를 코호몰로지 원소로 모델링한다.
• 자기 전류를 해소하는 코체인을 사용하여 아벨 게이지 장의 작용을 기술하며, $dF = j_B$의 일반화된 마이컬슨 방정식을 기하학적 코호몰로지 항등식으로 확장한다.
• 전기 결합 항과 그 이상을 일반화된 미분 코호몰로지 이론 틀 내에서 전기 및 자기 전류의 이차형식으로 표현한다.
• 예를 들어 $B$-twisted differential $K$-이론과 같은 일반화된 코호몰로지의 트리거링을 도입하여, 타입 II 및 타입 I 끈 이론에서의 배경 장과 전하 제약 조건을 기술한다.
• 고차형 게이지 장에서 자기 dual 조건을 정의하기 위해 이차형식을 도입하며, 이는 동시에 전기 결합 항을 2배로 조정하고 이상의 구조를 결정한다.
• 기하학적 형태의 아티야-싱어 지수 정리를 적용하여, 페르미온 행렬식을 미분 $KO$-, $KSp$-, 또는 $K$-이론의 선다발의 단면으로 해석하고, 텐서 곱 동형사상에 의해 이상 보정을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 정수 코호몰로지로는 기록되지 않는 전하를 갖는 양자 게이지 이론에서 딜라크 전하 양자화를 어떻게 일관되게 기술할 수 있는가?
• RQ2 K-이론과 KO-이론과 같은 일반화된 코호몰로지 이론이 끈 이론에서 라몬-라몬 전하와 D-브레인 전하를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 10차원 초끈이론에서 자기 dual 게이지 장은 표준적인 미분 코호몰로지 이론을 넘어서 어떤 정교한 기하학적 구조가 필요한가?
• RQ4 예를 들어 $B$-twisted $K$-이론과 같은 일반화된 코호몰로지 이론의 트리거링은 어떻게 타입 II 및 타입 I 이론에서의 배경 플럭스와 전하 제약 조건을 자연스럽게 기술하는가?
• RQ5 그린-쇼우저 이상 보정 메커니즘이 어떻게 미분 코호몰로지 및 분할 함수의 구조에 기반하여 기하학적으로 실현되는가?

주요 결과

• 타입 II 초끈이론에서의 라몬-라몬 전하는 일반적인 코호몰로지가 아니라 미분 K-이론의 상(image)으로 자연스럽게 기술되며, 전하 양자화의 물리적 이상을 해결한다.
• 전기 및 자기 전류를 모두 포함하는 아벨 게이지 장의 전기 결합 이상은 일반화된 미분 코호몰로지 이론 내에서 전류의 이차형식으로 표현된다.
• 10차원 초중력 이론에서 자기 dual 게이지 장은 자기 dual 조건을 정의하기 위해 이차형식이 필요하며, 이는 동시에 전기 결합 항을 2배로 조정한다.
• 타입 I 초끈이론에서 배경 자기 전류는 자연스럽게 미분 KO-클래스로 해석되며, 자기 dual 조건은 비대칭 이차형식으로 정의되며, 비자명한 클래스 중심에 위치한다.
• 타입 I 이론에서 시공간과 벡터 다발의 코호몰로지 제약 조건은 배경 전하를 포함하는 $KO$-이론 조건으로 일반화되며, 압축된 차원에서 $r \leq 7$일 때에도 유효하다.
• 타입 I 이론에서 D1- 및 D5-브레인의 전역 및 국소 이상은 자연스럽게 미분 KO-이론 틀 내에서 보상되며, 이는 $KO$-이론이 이 게이지 장에 대해 올바른 일반화된 코호몰로지 이론임을 뒷받침한다.