[논문 리뷰] Dirac Equation for Photons: Origin of Polarisation

Shinichi Saito|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 30.

Experimental and Theoretical Physics Studies인용 수 11

한 줄 요약

본 논문은 그레이디드-인덱스 광섬유에서 광자를 위한 2D 시공 Klein-Gordon 프레임워크를 도출하여, 구속이 유효 질량을 유도하고 광자 스핀을 편광과 연결하는 Dirac 유사한 스핀 서술이 있음을 보인다.

ABSTRACT

Spin is a fundamental degree of freedom, whose existence was proven by Dirac for an electron by imposing the relativity to quantum mechanics, leading to the triumph to derive the Dirac equation. Spin of a photon should be linked to polarisation, however, the similar argument for an electron was not applicable to Maxwell equations, which are already Lorentz invariant. Therefore, the origin of polarisation and its relationship with spin are not completely elucidated, yet. Here, we discuss propagation of coherent rays of photons in a graded-index optical fibre, which can be solved exactly using the Laguerre-Gauss or Hermite-Gauss modes in a cylindrical or a Cartesian coordinate. We found that the energy spectrum is massive with the effective mass as a function of the confinement and orbital angular momentum. The propagation is described by the one-dimensional ($1D$) non-relativistic Schrödinger equation, which is equivalent to the $2D$ space-time Klein-Gordon equation by a unitary transformation. The probabilistic interpretation and the conservation law require the factorisation of the Klein-Gordon equation, leading to the $2D$ Dirac equation with spin. We applied the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)-Bogoliubov theory of superconductivity to a coherent ray from a laser and identified a radiative Nambu-Anderson-Higgs-Goldstone mode for recovering the broken symmetry. The spin expectation value of a photon corresponds to the polarisation state in the Poincaré sphere, which is characterised by fixed phases after the onset of lasing due to the broken $SU(2)$ symmetry, and it is shown that its azimuthal angle is coming from the phase of the energy gap.

연구 동기 및 목표

• GRIN 광섬유에서의 코히런트한 광빔이 광섬유를 따라 전파되는 2D Klein-Gordon 방정식과 1D Schrödinger 방정식으로 기술될 수 있음을 보인다.
• 구속에 의해 유도된 에너지 간극이 광자에게 유효 질량을 부여하고 Dirac 유사 형식을 통해 스핀과 연결됨을 보인다.
• SU(2) 대칭을 통해 광자 편광과 스핀의 관계를 설명하고, 그것이 포인카레 구에서 어떻게 나타나는지 밝힌다.
• 에너지 간극의 위상을 코히런트 레이저 상태에 대한 Bogoliubov/BCS 유형 프레임워크를 통해 편광의 방위각과 연결한다.

제안 방법

• n(r)^2 = n0^2(1 - g^2 r^2)인 GRIN 광섬유에 대해 헬름홀츠 방정식을 도출하고 정확한 모드 해( Hermite-Gauss 및 Laguerre-Gauss )를 얻는다.
• 이차 분산 관계 omega0^2 - 2 Delta omega0 - (v0 k)^2 = 0를 보이고 Delta = hbar delta w0 (2n + |m| + 1)로 정의한다.
• Delta = m* v0^2로 분산에서 유도하여 유효 질량 m*를 정의하고 z 방향으로의 1D Schrödinger 방정식을 도출한다: iħ ∂t ψz^+ = -(ħ^2/2m*) ◻2 ψz^+ 이 때 ◻2 = ∂t^2/v0^2 - ∂z^2.
• 단위 변환에 의해 2D Klein-Gordon 방정식이 얻어짐을 시현하고, 2D Klein-Gordon/BCS-Bogoliubov 프레임워크가 Radiative Nambu–Anderson–Higgs–Goldstone 모드로 이어짐을 논의한다.
• 편리성, 시간 반전, 그리고 SU(2) 스핀 구조를 논의하여 스핀 기대값과 포인카레 구의 Stokes 파라미터 간의 연결을 제시한다.
• 대칭성이 깨진 코히런트 레이저 상태를 도입하고 에너지 간극의 위상을 편광의 방위각으로 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GRIN 광섬유 구속이 광자 분산을 어떻게 수정하고 유효 질량을 유발하는가?
• RQ2 2D Klein-Gordon/Dirac 프레임워크가 가이드 모드에서 광자 스핀과 편광을 기술할 수 있는가?
• RQ3 깨진 대칭과 에너지 간극이 편광 위상과 간극 위상 사이의 관계에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 편광, 카르리티, 전파에 대한 Parrity 및 시간 반전 연산은 GRIN 섬유에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 모드 해는 에너지 간극 Delta를 포함하는 이차 분산을 산출하며, 이는 GRIN 광섬유에서 광자들을 유효 질량을 갖게 만든다.
• 단위 변환을 통해 1D Schrödinger 방정식에서 2D 시공 Klein-Gordon 방정식이 얻어진다.
• 광자의 스핀 기대값은 포인카레 구의 편광 상태에 대응하며, 방위각이 에너지 간극 위상에 연결된다.
• 일관된 레이저 상태에서 방사적 Nambu–Anderson–Higgs–Goldstone 모드가 깨진 대칭을 회복하는 메커니즘으로 확인된다.
• Parity와 시간 반전 대칭은 구동된(간극이 있는) 모드와 방사적(간극이 없는) 모드에 서로 다른 거동을 만들어 스핀, 카이랄성, 전파 방향을 연결한다.