[논문 리뷰] Dirac equation for quasi-particles in graphene in an external electromagnetic field and chiral anomaly

Riazuddin|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 30.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외부 전자기장이 작용하는 그래핀에서 질량이 없는 준입자의 디рак 방정식을 유도하며, $\gamma^5$ 행렬이 없는 (1+2)차원에서 편향 불변성을 수립한다. 양자 보정을 통한 삼각형 파인먼 도형을 통해 축방향 전류 발산이 발생하며, 질량 조절자에 대한 부호에 비례하는 불변성을 유도한다: $\frac{e^2}{16\pi}(\text{sign }m)\epsilon^\mu\nu\rho(k_1 - k_2)_\rho$, 이는 (3+1)차원의 어드러-벨-자키 불변성과 유사하지만 차원성에 의해 수정된다.

ABSTRACT

There is evidence for existence of massless Dirac quasi-particles in graphene, which satisfy Dirac equation in (1+2) dimensions near the so called Dirac points which lie at the corners at the graphene's brilluoin zone. It is shown that parity operator in (1+2) dimensions play an interesting role and can be used for defining conserved chiral currents [there is no gamma^5 in (1+2) dimensions]. It is shown that the "anomalous" current induced by an external gauge field can be related to the anomalous divergence of an axial vector current which arises due to quantum radiative corrections provided by triangular loop Feynman diagrams in analogy with the corresponding axial anomaly in (1+3) dimensions.

연구 동기 및 목표

• 외부 전자기장이 존재하는 그래핀의 디рак점 근처 준입자에 대한 디рак 방정식의 형태를 수립하기 위해.
• ($\gamma^5$가 없는) (1+2)차원에서의 대칭성과 편향 대칭성의 역할을 탐구하기 위해.
• 삼각형 루프 도형에서 기인하는 양자 효과로서 그래핀 내 축방향 불변성을 조사하기 위해.
• 차원 조정을 사용하여 축방향 전류 $\partial_\mu J_5^\mu$의 발산을 계산하고 질량 조절자 부호에 대한 의존성을 확인하기 위해.
• 이론적 불변성을 전기장 및 자기장과 같은 측정 가능한 물리량과 게이지 불변 방식으로 연결하기 위해.

제안 방법

• (1+2)차원에서 두 개의 서로 다른 $\gamma$-행렬 표현을 사용하여 디рак 방정식을 수립하며, 이는 두 디랙 점 $\mathbf{K}$ 및 $\mathbf{K}'$에 대응한다.
• 장 재정의 $\psi_A = \psi_+$, $\psi_B = i\gamma^2\psi_-$를 도입하여 라그랑지안을 $U_A(1) \otimes U_B(1)$ 대칭성을 가진 두 개의 디랙 유사 항의 합으로 표현한다.
• 전류 $\psi_A$ 및 $\psi_B$에서 축방향 및 벡터 전류를 구성하며, $J_\pm^\mu = \frac{1}{2}(\overline{\psi}_A\gamma^\mu\psi_A \pm \overline{\psi}_B\gamma^\mu\psi_B)$를 정의하여 편향 전류를 표현한다.
• 질량이 있는 디랙 페르미온을 조절자로 사용하여, 질량이 있는 디랙 페르미온을 사용한 1-루프 삼각형 파인먼 도형을 통해 축방향 전류 발산 $\partial_\mu J_5^\mu$를 계산한다.
• $d=3$에서 차원 조정을 적용하여 루프 적분을 평가하며, 이는 $\epsilon^{\mu\nu\rho}k_{1\rho}$에 비례하는 유한한 불변 표현을 도출한다.
• 구성 공간에서의 불변을 유도하여 $\partial_\mu J_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi}(\text{sign }m)\epsilon^{\mu\nu\lambda}F_{\mu\nu}A_\lambda$로 표현하며, 질량의 부호에 의존함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ($\gamma^5$가 없는) (1+2)차원에서 편향 대칭성이 정의될 수 있음에도 불구하고, 편향 불변은 어떻게 나타나는가?
• RQ2 외부 전자기장 하에서 그래핀 내 축방향 전류 발산 $\partial_\mu J_5^\mu$는 양자 보정으로부터 어떤 형태로 유도되는가?
• RQ3 (1+2)차원에서 질량 조절자의 부호에 따라 불변은 어떻게 달라지며, (3+1)차원의 경우와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 그래핀 내 축방향 불변은 물리적 전기장 및 자기장으로 표현될 수 있으며, 게이지 선택은 결과에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 디랙 갭 $\Delta$는 불변에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 정규화 체계에서 질량 매개변수 $m$과의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 축방향 전류 발산 $\partial_\mu J_5^\mu$는 $\frac{e^2}{16\pi}(\text{sign }m)\epsilon^{\mu\nu\rho}(k_1 - k_2)_\rho$에 비례하며, 질량 조절자의 부호에 명시적인 의존성을 보인다.
• (1+2)차원에서의 불변은 $m$의 크기와는 무관하지만 부호에 의존하며, (3+1)차원의 경우와는 대조적으로, (3+1)차원에서는 불변이 $m$과 무관하다.
• 구성 공간에서 불변은 $\partial_\mu J_5^\mu = -\frac{e^2}{8\pi}(\text{sign }m)B(\vec{E} \cdot \vec{r})$ 형태로 나타나며, $A_0 = 0$ 게이지에서 유효하며 전기장과 반경 방향 위치와 연결된다.
• 벡터 전류 발산 $\partial_\mu J_3^\mu$는 $m$과 $\text{sign}(m)$에 모두 의존하며, 균일한 자기장에서 $\partial_\mu J_3^\mu = \frac{e^2}{4\pi}(\text{sign }m)mv_f B^2 r^2$로 표현된다.
• 불변 표현은 그래핀 내 디랙 갭 $\Delta$의 존재와 일관되며, $m = \Delta / v_f^2$로 표현되며, 이는 불변이 밴드 갭의 에너지 갭에 민감함을 보여준다.
• 결과는 그래핀 내 편향 불변이 양자 루프 보정에서 기인하며, 게이지 변환에 대해 강건하며, 어드러-벨-자키 불변과 유사한 구조를 가지지만 시공간의 차원성에 의해 수정됨을 확인한다.