[논문 리뷰] Dirac equation in terms of hydrodynamic variables

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 31.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하이드로다이내믹 변수—4형량 $j^i$, 스핀 가짜벡터 $S^i$, 작용 스칼라 $\bar{\hbar}\varphi$, 그리고 가짜스칼라 $\kappa$—를 사용하여 디랙 방정식을 재구성하며, 클리포드 대수 기법을 통해 $\gamma$-행렬을 제거한다. 주요 결과는 디랙 시스템이 하이드로다이내믹 형태로 비상대론적 공변성을 가지게 되며, 상대론적 공변성을 복원하기 위해 추가로 일정한 시간 방향 벡터 $f^i$ 가 필요하다는 것이다. 이는 전자를 점입자로 보다 내부적으로 구조화된 시스템으로 드러내며, 내부 동역학은 비상대론적임을 시사한다.

ABSTRACT

The distributed system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation is investigated simply as a dynamic system, i.e. without usage of quantum principles. The Dirac equation is described in terms of hydrodynamic variables: 4-flux $j^{i}$, pseudo-vector of the spin $S^{i}$, an action $\hbar ϕ$ and a pseudo-scalar $κ$. In the quasi-uniform approximation, when all transversal derivatives (orthogonal to the flux vector $j^i$) are small, the system $\mathcal{S}_D$ turns to a statistical ensemble of classical concentrated systems $\mathcal{S}_{dc}$. Under some conditions the classical system $\mathcal{S}_{dc}$ describes a classical pointlike particle moving in a given electromagnetic field. In general, the world line of the particle is a helix, even if the electromagnetic field is absent. Both dynamic systems $\mathcal{S}_D$ and $\mathcal{S}_{dc}$ appear to be non-relativistic in the sense that the dynamic equations written in terms of hydrodynamic variables are not relativistically covariant with respect to them, although all dynamic variables are tensors or pseudo-tensors. They becomes relativistically covariant only after addition of a constant unit timelike vector $f^{i}$ which should be considered as a dynamic variable describing a space-time property. This "constant" variable arises instead of $γ$-matrices which are removed by means of zero divizors in the course of the transformation to hydrodynamic variables. It is possible to separate out dynamic variables $κ$, $κ^i$ responsible for quantum effects. It means that, setting $κ,κ^i\equiv 0$, the dynamic system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation turns to a statistical ensemble $\mathcal{E}_{Dqu}$ of classical dynamic systems $\mathcal{S}_{dc}$.

연구 동기 및 목표

• 디랙 방정식을 양자역학적 파동방정식가 아니라 분포된 매질을 위한 동역학적 시스템으로 간주하여 양자 원리들을 피하는 것.
• 클리포드 대수에서의 사우터-조머펠트 방법을 사용하여 하이드로다이내믹 변수로 표현함으로써 디랙 방정식에서 $\gamma$-행렬을 제거하는 것.
• 하이드로다이내믹 재구성에 의해 디랙 입자의 숨겨진 물리적 성질—내부 구조와 비상대론적 내부 자유도—를 드러내는 것.
• 상대론적 공변성이 $f^i$ 라는 일정한 시간 방향 벡터를 도입함으로써만 회복됨을 보여주며, 이는 $\gamma$-행렬의 역할을 대체한다.

제안 방법

• 디랙 방정식은 8개의 실수 텐서 변수—4형량 $j^i$, 스핀 가짜벡터 $S^i$, 작용 스칼라 $\varphi$, 가짜스칼라 $\kappa$—를 사용하여 하이드로다이내믹 표현으로 재구성된다.
• $\gamma$-행렬은 클리포드 대수의 영자(zerodivisors) 기법을 통해 제거되며, 이는 상대론적 공변성을 복원하는 일정한 시간 방향 벡터 $f^i$ 로 대체된다.
• 준균일 근사에서 시스템을 분석하며, 횡방향 미분이 작기 때문에 분포된 시스템 $\mathcal{S}_D$ 는 고전적 점입자 $\mathcal{S}_{dc}$ 의 통계적 집합 $\mathcal{E}_{Dqu}$ 로 감소된다.
• 통계적 집합 기법(SET)을 적용하여 집합을 결정론적 시스템으로 간주함으로써 양자(postulates)인 연산자나 확률 진폭을 피한다.
• 변분 원리에 기반한 운동 방정식을 작용 (2.2) 를 사용하여 유도하며, 제약 조건 하에서 원래 디랙 작용 (2.1) 과 동치임을 보여준다.
• $\kappa$ 와 $\kappa^i$ 의 역할을 분리하여 양자 효과를 일으키는 요소로 규명하며, 이들을 0으로 설정하면 고전적 통계적 집합이 회복된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙 방정식은 $\gamma$-행렬 없이 하이드로다이내믹 변수로 재구성될 수 있는가? 물리적 내용은 유지되는가?
• RQ2 형량, 스핀, 작용, 가짜스칼라 변수로 표현될 때 디랙 방정식에서 어떤 물리적 성질이 드러나는가?
• RQ3 왜 하이드로다이내믹 형태의 디랙 방정식은 추가적인 일정한 시간 방향 벡터 $f^i$ 가 없으면 상대론적 공변성을 가지지 못하는가?
• RQ4 $\gamma$-행렬의 제거는 디랙 입자의 내부 구조에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ5 $\gamma$-행렬이 없는 상황에서 변수 $\kappa$ 와 $\kappa^i$ 는 양자 효과와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 디랙 입자는 점입자로 보이지 않으며, 하이드로다이내믹 재구성에 의해 복잡한 내부 구조를 지닌 것으로 드러난다.
• 디랙 입자의 내부 자유도는 전체적으로 상대론적 성격을 지니고 있음에도 불구하고 비상대론적 동역학으로 묘사된다.
• 상대론적 공변성은 하이드로다이내믹 변수 자체에 내재되어 있지 않으며, 일정한 시간 방향 벡터 $f^i$ 를 도입함으로써만 회복된다. 이는 $\gamma$-행렬의 역할을 대체한다.
• 가짜스칼라 $\kappa$ 와 그 벡터형 상대 $\kappa^i$ 는 양자 효과를 일으키는 동역학 변수로 규명된다.
• $\kappa, \kappa^i \equiv 0$ 로 설정하면 시스템은 고전적 점입자 $\mathcal{S}_{dc}$ 의 통계적 집합 $\mathcal{E}_{Dqu}$ 로 감소하며, 전자기장이 없더라도 각 입자는 나선형 세계선을 따라 운동한다.
• 하이드로다이내믹 표현은 원래 디랙 방정식과 수학적으로 동치이며, 주어진 제약 조건 하에서 변분 작용 (2.1) 과 (2.2) 가 동치임을 보여준다.