[논문 리뷰] Dirac-K\"{a}hler fermions and exact lattice supersymmetry

Simon Catterall|arXiv (Cornell University)|2005. 09. 26.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 니르포텐트 초대칭 생성자 $Q$ 를 유한 격자 간격에서 정확히 유지할 수 있도록, 그라스만 값의 반대칭 텐서 장으로 표현된 트위스트드 페르미온을 사용하여 초대칭 양-밀스 이론의 새로운 격자 형식을 제안한다. 이 방법은 스펙트럼 두배 문제를 피하고, 게이지 불변성을 유지하며, 작용의 $Q$-정확성도 유지하여, 두 차원에서 ${\cal N}=2$에 대해 정확한 초대칭을 갖는 격자 이론을 가능하게 하며, 네 차원에서 ${\cal N}=4$로 자연스럽게 확장된다.

ABSTRACT

We discuss a new approach to putting supersymmetric theories on the lattice. The basic idea is to start from a {\\it twisted} formulation of the underlying supersymmetric theory in which the fermions are represented as grassmann valued antisymmetric tensor fields. The original supersymmetry algebra is replaced by a twisted algebra which contains a scalar nilpotent supercharge $Q$. Furthermore the action of the theory can then be written as the $Q$-variation of some function. The case of ${\\cal N}=2$ super Yang-Mills theory in two dimensions is discussed in some detail. We then present our proposal for discretizing this theory and derive the resultant lattice action. The latter is local, free of spectrum doubling, gauge invariant and preserves the scalar supercharge invariance exactly. Some preliminary numerical results are then presented. The approach can be naturally generalized to yield a lattice action for ${\\cal N}=4$ super Yang-Mills in four dimensions.

연구 동기 및 목표

• 유한 격자 간격에서 최소한 하나의 초대칭을 정확히 유지하는 초대칭 양-밀스 이론의 격자 형식을 개발하는 것.
• 디랙-카일러 페르미온을 통한 기하학적 반대칭 텐서 장 표현을 사용하여 격자 페르미온의 스펙트럼 두배 문제를 해결하는 것.
• 스칼라 니르포텐트 초대칭 생성자 $Q$ 를 드러내는 트위스트드 초대칭 대칭 대칭 대칭 대칭을 일반화하여 정확한 격자 이산화를 가능하게 하는 것.
• 게이지 불변성과 $Q$-정확성 유지, 연속 극한에서의 관련 초대칭 위반 항의 방지를 보장하는 국소적, 게이지 불변의 격자 작용을 구성하는 것.
• 복소화된 장과 비표준 게이지 변환을 통해, 특히 네 차원에서 ${\cal N}=4$ 초양-밀스 이론으로의 이론의 확장.

제안 방법

• 페르미온을 그라스만 값의 반대칭 텐서 장으로 표현하여, 이중화를 제거하고 기하학적 이산화를 가능하게 하기 위해 단일 디랙-카일러 장으로 매핑한다.
• 초대칭 대칭 대칭 대칭을 트위스트하기 위해 장 재정의를 적용하여, 스칼라 니르포텐트 초대칭 생성자 $Q$ 를 드러내며, 작용이 $Q$-정확해지도록 한다: $S = Q\Psi$.
• 외부 미분과 그 수반을 격자에서 모방하는 전진 및 후진 차분 연산자 $D^{+}_{\mu}$ 와 $D^{-}_{\mu}$ 를 사용하여 연속 이론을 이산화한다.
• 텐서 장에 대해 비표준 게이지 변환 규칙을 정의하여, 격자 $Q$-대칭 하에서의 게이지 불변성을 유지한다.
• 함수의 $Q$-변화로 격자 작용을 구성함으로써, 유한 격자 간격에서 스칼라 초대칭 생성자에 대해 정확히 불변임을 보장한다.
• 복소화된 장을 사용하여 $D=4$, ${\cal N}=4$ 이론을 기술하며, 실수로 잘라내었을 때 연속 극한에서 정밀 조정 없이 워드 항등식이 유지된다는 추측을 제기한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서 ${\cal N}=2$ 초양-밀스 이론의 격자 형식을 구성할 수 있는가? 이 때, 유한 격자 간격에서 하나의 초대칭을 정확히 유지할 수 있는가?
• RQ2 트위스트드 형식에서 디랙-카일러 페르미온을 사용하면, 스펙트럼 두배 문제를 해결하면서도 게이지 불변성과 초대칭을 유지할 수 있는가?
• RQ3 공변 차분 연산자를 사용한 격자 이산화 하에서, 작용의 $Q$-정확성이 유지되는가?
• RQ4 이 접근법을 초대칭을 정확히 유지하는 유한 격자 간격에서 네 차원 ${\cal N}=4$ 초양-밀스 이론으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 복소화된 장을 실수 장으로 잘라냈을 때, 스칼라 초대칭 생성자에 해당하는 워드 항등식이 연속 극한에서 정밀 조정 없이 만족되는가?

주요 결과

• 두 차원에서 ${\cal N}=2$ 초양-밀스 이론의 격자 작용은 국소적이며, 스펙트럼 두배 없이, 게이지 불변이며, 유한 격자 간격에서 스칼라 니르포텐트 초대칭 생성자 $Q$ 에 대해 정확히 불변이다.
• 이 방법은 복소화된 장과 비표준 게이지 변환을 사용하여 네 차원에서 ${\cal N}=4$ 초양-밀스 이론에 대한 후보 격자 작용으로 성공적으로 일반화된다.
• 새로운 RHMC 알고리즘을 사용한 동적 페르미온 시뮬레이션에서 $D=2$, $U(2)$ 모델의 초창기 수치 결과는 기대되는 $Q$-정확성과 정밀 조정의 부재와 일치한다.
• $Q$-정확성은 스칼라 초대칭에 대한 워드 항등식이 연속 극한에서 실수 장으로 잘라냈을 때에도 유지됨을 보장한다.
• 이론이 처음부터 정확히 $Q$-불변이 되도록 작용을 구성함으로써, 초대칭 위반 항을 상쇄하기 위한 정밀 조정이 필요로 하지 않는다.
• 트위스트드 형식의 기하학적 성격은 단순형 격자와 무작위 격자 합산 통한 중력과의 결합으로의 잠재적 확장을 시사하며, 격자 초중력 이론으로의 길을 열어 놓는다.