[논문 리뷰] Dirac-Kahler equation in curved space-time, relation between spinor and tensor formulations

В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 11.

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한 줄 요약

이 논문은 리만 공간시공에서 디랙-카이러 방정식의 일반 공변성에 기반한 텐서 형식을 수립하며, 스핀어 형식에서 텐서 파동 방정식을 유도하여 스핀어와 텐서 기술 간의 동치성을 보여준다. 일반 공변성 하에서 디랙-카이러 장은 테트라드 또는 좌표 기반의 가짜텐서 분류를 통해 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터 성분으로 분해되며, 이에 따라 모든 네 종류의 보존 입자에 대해 일관된 파동 방정식을 도출한다.

ABSTRACT

A common view is that generalization of a wave equation on Riemannian space-time is substantially determined by what a particle is - boson or fermion. As a rule, they say that tensor equations for bosons are extended in a simpler way then spinor equations for fermions. In that context, a very interesting problem is of extension a wave equation for Dirac--Kähler field (Ivanenko--Landau field was historically first term, also the term a vector field of general type was used). The article relates a generally covariant tensor formalism to a spinor one when these both are applied to description of the Dirac-Kähler field in a Rimannian space-time. Both methods are taken to be equivalent and the tensor equations are derived from spinor ones. It is shown that, for characterization of Dirac-Kähler's tensor components, two alternative approaches are suitable: these are whether a tetrad-based pseudo tensor classification or a generally coordinate pseudo tensor one. By imposing definite restrictions on the the Dirac-Kähler function, we have produced the general covariant form of wave equations for scalar, pseudoscalar, vector, and pseudovector particles.

연구 동기 및 목표

• 리만 공간시공 내에서 디랙-카이러 방정식의 일반 공변성 텐서 형식을 수립하기 위해.
• 비틀림이 없는 일반 리만 공간시공 내에서 디랙-카이러 장의 스핀어 및 텐서 기술 간의 동치성을 보여주기 위해.
• 테트라드 기반 및 좌표 기반의 가짜텐서 접근 방식을 모두 사용하여 장 성분을 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터 입자로 분류하기 위해.
• 일반 공변성 하에서 각 입자 종류(스핀 0 및 스핀 1)에 대해 일관된 파동 방정식을 유도하기 위해.
• 민코프스키 공간에서 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터 장을 분리하는 조건이 곡률이 있는 공간시공에서도 그대로 유지되는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 디랙 행렬 전개를 사용하여 16성분의 스핀어 파동 함수에서 텐서 성분을 유도한다: $ U(x) = [-i\Psi + \gamma^l \Psi_l + i\sigma^{mn} \Psi_{mn} + \gamma^5 \tilde{\Psi} + i\gamma^l\gamma^5 \tilde{\Psi}_l] E^{-1} $.
• 일반 공변성을 적용하여 편미분을 공변도로 치환한다: $ \partial_a \to \nabla^\alpha $, 이를 통해 곡률이 있는 공간시공 내에서도 로렌츠 대칭성이 유지된다.
• 테트라드 기반 및 좌표 기반의 가짜텐서 분류를 모두 사용하여 장 성분과 그 내재된 펄시비를 특성화한다.
• 디랙-카이러 함수에 제약 조건을 도입하여 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터 장을 분리한다.
• 각 장에 대해 네 세트의 파동 방정식을 유도한다: 스칼라 및 편스칼라에는 프로카 형식, 벡터 및 축벡터에는 라리타-슈윙거 형식의 방정식을 사용한다.
• 공변도의 교환자와 리만 텐서 항을 사용하여, 예를 들어 $ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $와 같은 제약 조건이 곡률이 있는 공간시공 내에서도 정확히 성립함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙-카이러 장은 어떻게 일반 공변성 기반의 텐서 형식을 사용하여 곡률이 있는 공간시공으로 일관되게 확장될 수 있는가?
• RQ2 일반 리만 기저에서 디랙-카이러 방정식의 스핀어 기술과 텐서 기술 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 테트라드 기반 또는 좌표 기반의 가짜텐서 형식 중 어느 것이 장 성분의 물리적 해석을 더 잘 유지하는가?
• RQ4 민코프스키 공간에서 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터 장을 분리하는 제약 조건이 곡률이 있는 공간시공에서도 그대로 유효한가?
• RQ5 모든 네 종류의 보존 입자(스핀 0 및 스핀 1)에 대해 일반 공변성 기반의 디랙-카이러 방정식에서 일관된 파동 방정식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 공변성을 사용하여 스핀어 기술에서 유도된 리만 공간시공 내 디랙-카이러 장의 텐서 파동 방정식이 유도되었으며, $ \partial_a \to \nabla^\alpha $로 치환된다.
• 스칼라 및 편스칼라 장은 각각 프로카 방정식을 만족한다: $ \nabla^\alpha \Psi_\alpha + m\Psi = 0 $ 및 $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha + m\tilde{\Psi} = 0 $.
• 벡터 및 편벡터 장은 공변도와 리비-치비타 텐서를 포함한 방정식으로 제어된다: $ \nabla_\alpha \Psi + \nabla^\beta \Psi_{\alpha\beta} - m\Psi_\alpha = 0 $ 및 $ \tilde{\nabla}_\alpha \tilde{\Psi} - \frac{1}{2} \epsilon^{\beta\rho\sigma}_\alpha \nabla_\beta \Psi_{\rho\sigma} - m\tilde{\Psi}_\alpha = 0 $.
• 리만 텐서의 대칭성 덕분에 $ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $ 및 $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha = 0 $와 같은 제약 조건이 곡률이 있는 공간시공 내에서도 정확히 성립한다.
• 일반 공변성 하에서 스칼라, 편스칼라, 벡터, 편벡터로의 분해가 유지되며, 민코프스키 공간에서와 동일한 제약 조건이 적용된다.
• 테트라드 형식의 사용은 임의의 곡률이 있는 공간시공 모델에서 이산 로렌츠 대칭성, 특히 내재된 펄시비를 일관되게 다룰 수 있게 한다.