[논문 리뷰] Dirac's Canonical Quantization Programme

Hans-Juergen Matschull|ArXiv.org|1996. 06. 26.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 2인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 게이지 고정 없이 약한 제약 조건과 게이지 대칭성을 갖는 라그랑지안으로 정의된 고전 이론을 양자화하기 위한 체계적인 방법으로 디랙의 캐논ical 양자화 계획을 제시한다. 전자기장, 상대론적 점입자, 초기 스트링 이론에 이 방법을 적용하여 클라인-고르던 방정식을 유도하고, 정규순서화 상수에 의존하는 양자 질량의 성격을 밝혀내며, 게이지 불변 프레임워크 내에서 관측 가능 대수의 제약 조건을 통해 물리적 상태를 정의한다.

ABSTRACT

This is a collection of lectures given at the University of Heidelberg, especially but not exclusively for people who want to learn something about the canonical approach to quantum gravity, which is however not included in these lectures. They are about Dirac's general method to construct a quantum theory out of a classical theory, which has to be defined in terms of a Lagrangian. The classical Hamiltonian formalism is reviewed, with emphasis on the relation between constraints and gauge symmetries, and quantization is carried out without any kind of gauge fixing. The method is applied to three examples: the free electro-magnetic field, the relativistic point particle, and the very first steps of string theory are carried out.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건과 게이지 대칭성을 갖는 고전적 시스템에 대해 디랙의 캐논ical 양자화 계획을 종합적으로 기술하는 것.
• 자유 전자기장, 상대론적 점입자, 스트링 이론의 초보적 단계와 같은 기본 물리계에 이 방법을 적용하는 것.
• 게이지 고정 없이 물리적 상태와 관측 가능량을 일관되게 정의할 수 있으며, 명백한 게이지 불변성을 유지하는 것.
• 스트링의 질량 중심 운동에 대해 클라인-고르던 방정식을 유도하고, 양자 질량이 정규순서화 상수에 어떻게 의존하는지 밝혀내는 것.
• 제약 조건의 양자화를 통해 연산자 순서와 임계 차원의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 라그랑지안을 사용하여 고전 이론을 기술하고 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.
• 공액 운동량을 $ p_i = \partial L / \partial v^i $ 로 정의하여, 두 번째 차수 방정식을 위상공간 $ \mathcal{P} = T^*\mathcal{Q} $ 상의 첫 번째 차수 해밀턴 형식으로 변환한다.
• 레지스터 전환 과정에서 헤시안 행렬 $ \partial^2 L / \partial v^i \partial v^j $ 가 특이할 경우, 주된 제약 조건과 보조 제약 조건을 식별한다.
• 제약 조건을 제1류(게이지 대칭을 생성함) 또는 제2류(디랙 브라켓이 필요함)로 분류하고, 디랙-버그만 알고리즘을 사용하여 이를 처리한다.
• 고전적 푸아송 브라켓을 연산자 교환자로 승격시켜 양자 이론을 구성하고, 힐베르트 공간 상의 연산자 방정식으로 제약 조건을 도입한다.
• 물리적 상태를 모든 제1류 제약 조건에 의해 영이 되는 상태로 정의하여, 게이지 불변성을 유지하면서 게이지 빌드업이나 게이지 고정 조건을 도입하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건과 게이지 대칭성을 갖는 고전 라그랑지안 이론이 게이지 고정 없이 어떻게 일관되게 양자화될 수 있는가?
• RQ2 제1류 제약 조건이 게이지 변환을 어떻게 생성하는가? 그리고 이는 물리적 상태 공간을 어떻게 제약하는가?
• RQ3 해밀턴 제약 조건에서의 연산자 순서는 스트링의 양자 질량 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 스트링 이론에서 물리적 상태 공간이 양의 정의성을 갖기 위한 조건으로 임계 차원 $ D = 26 $ 이 도출되는가?
• RQ5 스트링 모델에서 제1류 제약 조건으로부터 직접적으로 질량 중심 운동에 대한 클라인-고르던 방정식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 스트링의 질량 중심 파동함수에 대해 클라인-고르던 방정식 $ (\widehat{P}_\mu \widehat{P}^\mu + 8\pi\hbar N)\Phi(Q) = 0 $ 이 도출되어 그 양자적 성격을 보여준다.
• 스트링의 기저 상태는 질량 제곱 $ m^2 = 8\pi\hbar N $ 를 갖는 점입자처럼 행동하며, 이는 정규순서화 상수 $ N $ 에 명시적으로 의존한다.
• $ v^\mu \widehat{a}_\mu(k) $ 를 통해 생성된 상태의 노름은 $ \pi\hbar k \, v^\mu v_\mu $ 이며, $ v^\mu $ 가 시간적일 경우 음수가 될 수 있어 양성도 문제를 암시한다.
• 물리적 상태는 모든 제1류 제약 조건에 의해 영이 되는 상태로 정의되며, 이는 게이지 불변성을 유지하면서 게이지 빌드업이나 게이지 고정 조건을 도입하지 않음을 보장한다.
• 임계 차원 $ D = 26 $ 는 물리적 상태 공간이 양의 정의성을 갖기 위한 일관성 조건으로서 도출되며, 이는 $ N $ 이 음수 값으로 고정됨을 의미한다.
• 이 방법은 모든 제약 조건을 힐베르트 공간 상의 연산자 방정식으로 도입함으로써 명백한 게이지 불변성의 양자화를 얻는다. BRST나 기타 보조 형식론을 도입할 필요가 없다.