[논문 리뷰] Dirac structures and reduction of optimal control problems with symmetries

Alberto Ibort, Thalía Rodríguez de la Peña외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 08.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리 군 대칭성을 갖는 최적 제어 문제를 줄이기 위한 디랙 구조 기반 프레임워크를 제안하며, 변분 원리의 축소와 폰트리아긴 최대원리의 1차 조건 축소가 일치함을 보여준다. 요시무라와 마스덴의 디랙 축소를 최적 제어에 확장하여 마르티네스의 리 대수층 접근법과 통합하고, 헤이젠베르크 군에서의 부분리만 기하학 문제를 통해 방법을 구체적으로 설명한다. 여기서 축소된 역학은 명시적인 나선형 기하학적 경로를 도출한다.

ABSTRACT

We discuss the use of Dirac structures to obtain a better understanding of the geometry of a class of optimal control problems and their reduction by symmetries. In particular we will show how to extend the reduction of Dirac structures recently proposed by Yoshimura and Marsden [Yo09] to describe the reduction of a class of optimal control problems with a Lie group of symmetry. We will prove that, as in the case of reduction of implicit Hamiltonian or Lagrangian systems, the reduction of the variational principle and the reduction of the Dirac structure describing the Pontryagin Maximum Principle first order differential conditions coincide. Moreover they will also reproduce E. Martínez Lie algebroids reduction approach [Mr04] to optimal control systems with symmetry. The geodesic subriemannian problem considered as an optimal control problem on the Heisenberg group, will be discussed as a simple example illustrating these results.

연구 동기 및 목표

• 대칭성을 갖는 최적 제어 문제를 디랙 구조를 사용하여 기하학적 프레임워크로 축소하는 것.
• 라그랑주-폰트리아진 변분 원리의 축소와 폰트리아진 최대원리의 1차 조건을 표현하는 디랙 구조의 축소가 동치임을 확립하는 것.
• 대칭 최적 제어 시스템에 대해 마르티네스의 리 대수층 축소 접근법과의 호환성을 보여주는 것.
• 헤이젠베르크 군에서의 부분리만 기하학 문제를 통해 방법을 구체적으로 설명하는 것.

제안 방법

• 포인트리아인 번들 M = T*P ×_P C 상의 디랙 구조를 사용하여 폰트리아진 최대원리의 1차 조건을 표현한다.
• 요시무라와 마스덴의 디랙 축소 이론을 리 군의 코탄젠트 번들의 표준 디랙 구조에 적용한다.
• 상태 공간 P 위의 리 군 G의 작용을 통해 시스템을 축소하여 몫 공간 M/G ≃ g* × U를 도출한다.
• λ에 의존하는 이차형식 ω/G_λ로 정의된 V ⊕ V* 내부의 축소된 디랙 구조 [DG]_G(λ) ⊂ V ⊕ V*를 유도한다. 여기서 V = g ⊕ g*이다.
• 제어 변수를 제거하기 위해 일致성 조건 ∂HP/∂u^a = ∂h/∂u^a = 0을 도입하고, 축소된 해밀토니안 h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2를 도출한다.
• ξ(λ) = ∂h/∂λ를 사용하여 축소된 리-포아송 시스템 ˙λ = ad*_{ξ(λ)}λ를 풀어 명시적인 기하학적 경로 해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 제어 문제에서 변분 원리의 축소가 기저 디랙 구조의 축소와 일치하는가?
• RQ2 요시무라와 마스덴의 디랙 축소 프레임워크를 대칭성을 갖는 최적 제어 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ3 축소된 디랙 구조는 대칭 최적 제어 시스템에 대한 마르티네스의 리 대수층 축소와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 헤이젠베르크 군에서의 부분리만 기하학 문제에 대해 축소된 역학과 해의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 대칭 최적 제어 문제에서 라그랑주-폰트리아진 변분 원리의 축소와 폰트리아진 최대원리의 1차 조건을 표현하는 디랙 구조의 축소는 동치이다.
• 축소된 시스템은 조건 ([X]_G(λ), dh(λ)) ∈ [DG]_G(λ)를 만족하며, 이는 표준 축소된 리-포아송 방정식을 재현한다.
• 축소된 해밀토니안은 h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2이며, 일치성 조건 ∂h/∂u^a = 0로부터 유도된다.
• 축소된 시스템의 해는 λ₁과 λ₂에서 주기적이고, λ₃는 일정하다. 따라서 λ₁(t) = cos(θ + kt), λ₂(t) = sin(θ + kt), λ₃(t) = k로 표현된다.
• 헤이젠베르크 군 상에서 재구성된 역학은 R³ 상의 명시적 기하학적 경로를 도출한다: x(t) = (1/k)sin(kt + θ) - (1/k)sinθ, y(t) = (1/k)cos(kt + θ) + (1/k)cosθ, z(t) = (1/k²)sin(kt) + t/k.
• 이 기하학적 경로는 중심이 (−sinθ/k, cosθ/k)이고 반지름이 1/k인 원의 투영을 가지며, 기존의 부분리만 기하학적 구조를 확인한다.