[논문 리뷰] Direct and inverse scattering at fixed energy for massless charged Dirac fields by Kerr-Newman-de Sitter black holes

Thierry Daudé, François Nicoleau|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 10.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 60인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 질량이 없는 전하를 띤 디랙 장이 쿠르-뉴먼-드Sitter 블랙홀 시공간에서 시간에 따라 변화하는 파동 연산자들이 존재하고 점 渐진적으로 완전함을 확립하며, 이를 고정된 에너지에서 정적 산란 행렬과 연결한다. 변수 분리와 복소 각운동량 기법을 사용하여, 단일 에너지에서 산란 행렬로부터 블랙홀의 계량을 유일하게 재구성할 수 있음을 증명함으로써, 양성 상수를 가진 회전하고 전하를 띤 블랙홀에 대한 역산란 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the direct and inverse scattering theory at fixed energy for massless charged Dirac fields evolving in the exterior region of a Kerr-Newman-de Sitter black hole. In the first part, we establish the existence and asymptotic completeness of time-dependent wave operators associated to our Dirac fields. This leads to the definition of the time-dependent scattering operator that encodes the far-field behavior (with respect to a stationary observer) in the asymptotic regions of the black hole: the event and cosmological horizons. We also use the miraculous property (quoting Chandrasekhar) - that the Dirac equation can be separated into radial and angular ordinary differential equations - to make the link between the time-dependent scattering operator and its stationary counterpart. This leads to a nice expression of the scattering matrix at fixed energy in terms of stationary solutions of the system of separated equations. In a second part, we use this expression of the scattering matrix to study the uniqueness property in the associated inverse scattering problem at fixed energy. Using essentially the particular form of the angular equation (that can be solved explicitely by Frobenius method) and the Complex Angular Momentum technique on the radial equation, we are finally able to determine uniquely the metric of the black hole from the knowledge of the scattering matrix at a fixed energy.

연구 동기 및 목표

• 쿠르-뉴먼-드Sitter 블랙홀의 외부 영역에서 질량이 없는 전하를 띤 디랙 장에 대한 직접 산란 이론을 수립한다.
• 디랙 방정식에서 변수 분리를 통해 시간에 따라 변화하는 산란 연산자와 그 정적 대응체를 연결한다.
• 고정된 에너지에서 역산란 문제를 해결하여 산란 행렬로부터 블랙홀 계량을 유일하게 결정한다.
• 구형 대칭 블랙홀(예: 레이스너-노르스트롬)의 기존 역산란 결과를 양성 상수를 가진 회전하고 전하를 띤 블랙홀로 확장한다.
• 단일 에너지에서의 산란 행렬이 전체 시공간 기하학을 재구성하는 데 충분한 정보를 포함하고 있음을 보여준다.

제안 방법

• 보이어-린드퀴스트 좌표계에서 디랙 방정식이 원추형과 각도형 상수 미분 방정식으로 분리됨을 이용한다.
• H-연속성 방법과 파동 연산자 이론을 적용하여 시간에 따라 변화하는 파동 연산자의 존재성과 점 渐진적 완전성을 증명한다.
• 분리된 원추형 및 각도형 방정식의 정적 해를 사용하여 고정된 에너지에서 산란 행렬을 구성한다.
• 특수한 구조를 이용하여 아르고리즘을 적용하여 각도형 방정식을 폭발형 방법(Frobenius method)으로 명시적으로 해석한다.
• 원추형 방정식에 대해 복소 각운동량 기법을 적용하여 스펙트럼 정보를 추출한다.
• 산란 행렬의 해석적 구조를 분석함으로써 역문제의 해의 유일성을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠르-뉴먼-드Sitter 시공간에서 질량이 없는 전하를 띤 디랙 장에 대해 시간에 따라 변화하는 산란 연산자를 구성하고, 점 渐진적으로 완전함을 보일 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 산란 연산자와 고정된 에너지에서의 정적 산란 행렬 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ3 단일 고정 에너지에서의 산란 행렬이 쿠르-뉴먼-드Sitter 블랙홀의 매개변수를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ4 각도형 방정식의 명시적 해법이 역산란 절차에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 복소 각운동량 방법을 원추형 방정식에 얼마나 넓게 적용하여 계량 매개변수를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 파동 연산자가 존재하며 점 渐진적으로 완전하므로, 산란 연산자가 잘 정의되고 유니터리하다.
• 고정된 에너지에서의 산란 행렬은 분리된 원추형 및 각도형 방정식의 해로 명시적으로 표현된다.
• 각도형 방정식은 폭발형 방법을 통해 해석 가능하며, 스핀-중량이 있는 타원형 조화함수를 포함하는 명시적 특수함수를 도출한다.
• 원추형 방정식에 복소 각운동량 기법을 적용함으로써 산란 데이터의 해석적 구조를 유일하게 결정할 수 있다.
• 계량 매개변수(질량 $M$, 전하 $Q$, 각운동량 $a$, 양성 상수 $ar{ ho}$)는 단일 고정 에너지에서의 산란 행렬로부터 유일하게 재구성된다.
• 쿠르-뉴먼-드Sitter 블랙홀에 대해 고정된 에너지에서의 역산란 문제는 유일하게 해결 가능하며, 이는 이전의 구형 대칭 케이스의 결과를 확장한다.