[논문 리뷰] Direct Methods and Symbolic Software for Conservation Laws of Nonlinear Equations

Willy Hereman, Paul Adams외 3명|ArXiv.org|2008. 03. 01.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 82인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 비선형 편미분방정식(PDE)과 미분-차분방정식(DDE)에서 보존법칙을 계산하기 위한 기호 알고리즘과 소프트웨어를 제시한다. 진폭 대칭을 이용하여 후보 밀도를 미지 계수를 가진 다항식으로 구성하고, 변분법과 호모토피 연산자를 통해 선형 시스템을 풀며, Mathematica와 Maple에서 효율적인 계산을 구현하여 KdV, Boussinesq, sine-Gordon, Toda 격자 등과 같은 시스템의 통합성 분석과 매개변수에 의존하는 보존법칙 탐지가 가능하다.

ABSTRACT

We present direct methods and symbolic software for the computation of conservation laws of nonlinear partial differential equations (PDEs) and differential-difference equations (DDEs).The methods are applied to nonlinear PDEs in (1+1) dimensions with polynomial nonlinearities which include the Korteweg-de Vries (KdV), Boussinesq, and Drinfel'd-Sokolov-Wilson equations. An adaptation of the methods is applied to PDEs with transcendental nonlinearities. Examples include the sine-Gordon, sinh-Gordon, and Liouville equations. With respect to nonlinear DDEs, our methods are applied to Kac-van Moerbeke, Toda, and Ablowitz-Ladik lattices. To overcome the shortcomings of the undetermined coefficients method, we designed a new direct method which uses leading order analysis. That method is applied to discretizations of the KdV and modified KdV equations, and a combination thereof. Additional examples include lattices due to Bogoyavlenskii, Belov-Chaltikian, and Blaszak-Marciniak. The undetermined coefficient methods for PDEs and DDEs have been implemented in Mathematica. The code "TransPDEDensityFlux.m" computes densities and fluxes of systems of PDEs with or without transcendental nonlinearities. The code "DDEDensityFlux.m" does the same for polynomial nonlinear DDEs. Starting from the leading order terms, the new Maple library "discrete" computes densities and fluxes of nonlinear DDEs.

연구 동기 및 목표

• 비선형 PDE와 DDE에서 다항식 및 초월함수 형태의 보존법칙을 계산하기 위한 직접적이고 알고리즘 기반의 방법 개발.
• 기존 기호 도구의 한계를 극복하기 위해 보존법칙 계산을 위한 효율적이고 확장 가능한 소프트웨어 개발.
• 비선형 시스템에서 보존법칙의 계층적 존재를 통해 통합성 탐지 기능 제공.
• 진폭 불변성에 의존하지 않는 새로운 최고차항 분석 방법을 사용하여 DDE에 대한 기호 계산 확장.
• 연구자들이 비선형 모델의 물리적 및 수학적 성질을 분석할 수 있도록 오픈소스 소프트웨어 도구 제공.

제안 방법

• 비선형 PDE와 DDE의 척도 불변성을 식별하기 위해 진폭 대칭 분석 적용.
• 미지 계수를 가진 척도 불변 단항식의 선형 조합으로 후보 보존 밀도 구성.
• 계수에 대한 선형 시스템을 유도하기 위해 연속적인 변분도함수(Euler operator)를 사용하며, 비선형성 유형에 따라 대수방정식 또는 상미분방정식 시스템을 풀음.
• 연속적 호모토피 연산자를 활용하여 부분적 적분을 통해 총미분 연산자의 알고리즘적 역함수를 계산함으로써 유속 계산 수행.
• DDE에 적용하기 위해 항등원 연산자의 분할과 함께 최고차항 계산 기반의 새로운 '분할 정복' 전략을 도입.
• 자동 계산을 위한 알고리즘을 Mathematica(TransPDEDensityFlux.m, DDEDensityFlux.m)와 Maple(discrete 라이브러리)에 구현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성의 다항식 및 초월함수 형태를 가진 비선형 PDE에서 기호 계산을 통해 보존법칙을 체계적으로 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 진폭 대칭은 비선형 PDE와 DDE의 후보 보존 밀도 구성에 있어 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 보존법칙의 맥락에서 호모토피 연산자는 PDE와 DDE에서 효율적으로 유속을 계산하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 기존의 이산 오일러 연산자 및 호모토피 연산자의 DDE 적용 시 한계는 무엇이며, 이를 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ5 미지 계수와 진폭 불변성에 의존하지 않는 새로운 DDE용 방법을 개발하여 비다항식 보존법칙을 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 KdV, Boussinesq, Drinfel’d-Sokolov-Wilson, sine-Gordon, sinh-Gordon, Liouville 방정식과 같은 고전적 PDE에 대해 보존법칙을 성공적으로 계산하였다.
• 초월함수 비선형성을 가진 PDE의 경우, 미지 함수 계수에 대한 대수방정식과 상미분방정식의 혼합 시스템을 풀어 보존법칙을 계산하였다.
• 연속적 호모토피 연산자는 부분적 적분을 통해 총미분 연산자의 알고리즘적 역함수를 계산함으로써 명시적인 유속 계산이 가능하게 하였다.
• DDE의 경우, Kac-van Moerbeke, Toda, Ablowitz-Ladik 격자와 같은 다항식 시스템에 대해 미지 계수 방법이 효과적이었다.
• DDE에 대한 새로운 최고차항 방법은 불필요한 항 생성을 방지하고 진폭 불변성이나 다항성 조건 없이도 효율적으로 보존 밀도를 계산할 수 있었다.
• Mathematica의 TransPDEDensityFlux.m과 DDEDensityFlux.m, Maple의 discrete 라이브러리는 공개되어 있으며 매개변수에 의존하는 보존법칙 탐지 기능을 지원한다.