[논문 리뷰] Directed homotopy theory, I. The fundamental category

Marco Grandis|ArXiv.org|2001. 11. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 59

한 줄 요약

이 논문은 고전적 대수적 위상수학에서 기본 군의 족과 유사한 방향성 있는 기본 범주를 도입하며, 특별히 방향성 있는 경로를 갖춘 d-공간—위상공간의 방향성 있는 호모토피 이론을 비가역적으로 정립한다. 실린더 및 경로 함자들을 사용하여 방향성 있는 Seifert–van Kampen 정리를 증명하고, 기본 범주는 방향성 있는 호모토피에 대해 불변임을 보이며, 국소적으로 순서가 붙은 공간에서의 쌍대극한(예: 공등화자)이 특정 기하적 실현을 포괄하지 못함을 보여, d-공간 또는 d-거리공간과 같은 더 넓은 프레임워크가 필요하다고 밝힌다.

ABSTRACT

Directed Algebraic Topology is beginning to emerge from various applications. The basic structure we shall use for such a theory, a 'd-space', is a topological space equipped with a family of 'directed paths', closed under some operations. This allows for 'directed homotopies', generally non reversible, represented by a cylinder and cocylinder functors. The existence of 'pastings' (colimits) yields a geometric realisation of cubical sets as d-spaces, together with homotopy constructs which will be developed in a sequel. Here, the 'fundamental category' of a d-space is introduced and a 'Seifert - van Kampen' theorem proved; its homotopy invariance rests on 'directed homotopy' of categories. In the process, new shapes appear, for d-spaces but also for small categories, their elementary algebraic model. Applications of such tools are briefly considered or suggested, for objects which model a directed image, or a portion of space-time, or a concurrent process.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 모델이나 동시성 프로세스와 같이 특별히 방향성이 있는 방향을 갖는 공간에 대해 방향성 있는 호모토피 이론을 개발하기 위해.
• d-공간의 기본 범주를 기본 군의 족의 비가역적 일반화로 정의하기 위해.
• 기하학적 쌍대극한을 통해 기본 범주를 계산할 수 있는 방향성 있는 Seifert–van Kampen 정리를 증명하기 위해.
• 표준적인 범주(예: 국소적으로 순서가 붙은 공간)가 특정 기하적 실현을 모델링하기에 충분한 쌍대극한 구조를 갖지 못함을 보여, d-공간이 필요하다고 밝히기 위해.
• 범주론적 개념인 d-호모토피를 도입하여, 기본 범주가 방향성 있는 호모토피에 대해 불변임을 확립하기 위해.

제안 방법

• 재매개변수화와 연결에 대해 닫혀 있는 방향성 경로의 가족을 갖춘 위상공간으로서 d-공간을 정의한다.
• 실린더 및 경로 함자(↑I(X) = X×↑I 및 ↑P(X) = X↑I)를 도입하여 방향성 있는 호모토피를 모델링한다.
• 두 가지 호모토피 동치 관계를 개발한다: d-호모토피와 가역적 d-호모토피이며, 후자는 범주론적 동치와 동치이다.
• 붙임 구조(쌍대극한)를 사용하여 입방체 집합을 d-공간으로 기하학적으로 실현함으로써 호모토피적 구성이 가능하도록 한다.
• dTop에서의 푸시아웃을 통해 기본 범주를 계산하기 위해 방향성 있는 van Kampen 정리를 적용한다.
• 이중위상적 구조를 통해 d-거리공간과 d-공간 간의 연결을 확립하며, d-거리공간이 d-메트릭화 가능하다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동시성 프로세스나 공간-시간 모델과 같은 비가역적 환경에서 기본 군의 족을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 d-공간의 기본 범주가 방향성 있는 호모토피에 대해 불변이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 입방체 집합의 기하적 실현이 국소적으로 순서가 붙은 공간의 범주에 포함될 수 있는가?
• RQ4 쌍대극한(예: 공등화자)은 d-공간의 호모토피 이론에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 왜 국소적으로 순서가 붙은 범주에서는 실패하는가?
• RQ5 d-거리공간은 d-공간과 어떻게 관련되어 있으며, 방향성 있는 호모토피의 모델로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• d-공간의 기본 범주 ↑Π1(X)는 (이중)점 기반 d-호모토피에 대해 불변이며, 고전적 기본 군의 족의 불변성의 일반화이다.
• 방향성 있는 Seifert–van Kampen 정리가 확립되어 기하학적 쌍대극한 구조를 통해 ↑Π1(X)의 계산이 가능하다.
• dTop에서 두 방향성 있는 구간의 공등화자로 구성된 방향성 원주 ↑S1는 국소적으로 순서가 붙은 공간의 범주(lpTop)에서 실현될 수 없으며, 이는 lpTop가 충분한 쌍대극한 구조를 갖지 못한다는 것을 증명한다.
• 비퇴화된 1차원 입방체 a, b와 2차원 입방체 w를 갖는 입방체 집합 K의 방향성 실현 ↑R(K)는 국소적으로 순서가 붙지 않으며, 이는 lpTop를 초월하여 d-공간이 필요하다는 것을 보여준다.
• 비대칭 거리(비대칭 거리)를 갖는 d-거리공간은 d-메트릭화 가능하며, dMtr에서의 공등화자를 통해 표준적인 방향성 있는 공간인 ↑R, ↑I, ↑S1, ↑Sn을 모델링할 수 있다.
• 점에서의 기본 모노이드 ↑π1(X, x)는 종종 전체 기본 범주의 정보를 담고 있지 못하므로, 범주 수준의 구조가 중요하다는 점을 강조한다.