[논문 리뷰] Directed Width Measures and Monotonicity of Directed Graph Searching

Łukasz Kaiser, Stephan Kreutzer외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 죄수와 도둑 게임을 분석하여 방향성 있는 그래프의 폭 측정치에 대한 종합적인 계층 구조를 수립하며, 유계된 켈리-폭이 유계된 DAG-폭을 암시함을 증명하고, 방향성 있는 트리 폭 게임에서의 죄수-단조성 비용이 무한함을 보여, 방향성 있는 그래프 구조 이론에서 오랫동안 미해결이었던 문제들을 해결한다.

ABSTRACT

We consider generalisations of tree width to directed graphs, that attracted much attention in the last fifteen years. About their relative strength with respect to "bounded width in one measure implies bounded width in the other" many problems remain unsolved. Only some results separating directed width measures are known. We give an almost complete picture of this relation. For this, we consider the cops and robber games characterising DAG-width and directed tree width (up to a constant factor). For DAG-width games, it is an open question whether the robber-monotonicity cost (the difference between the minimal numbers of cops capturing the robber in the general and in the monotone case) can be bounded by any function. Examples show that this function (if it exists) is at least $f(k) > 4k/3$ (Kreutzer, Ordyniak 2008). We approach a solution by defining weak monotonicity and showing that if $k$ cops win weakly monotonically, then $O(k^2)$ cops win monotonically. It follows that bounded Kelly-width implies bounded DAG-width, which has been open since the definition of Kelly-width by Hunter and Kreutzer in 2008. For directed tree width games we show that, unexpectedly, the cop-monotonicity cost (no cop revisits any vertex) is not bounded by any function. This separates directed tree width from D-width defined by Safari in 2005, refuting his conjecture.

연구 동기 및 목표

• DAG-폭, 켈리-폭, D-폭, 그리고 방향성 있는 트리 폭과 같은 방향성 있는 폭 측정치의 상대적 강도를 명확히 하기 위해.
• 유계된 켈리-폭이 유계된 DAG-폭을 암시하는가 하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 특히 일반 전략과 단조 전략 사이의 격차를 중심으로, 방향성 있는 그래프 탐색 게임에서의 단조성 비용을 조사하기 위해.
• 방향성 있는 트리 폭이 D-폭보다 엄격히 약한가, 아니면 동치인가를 판단하기 위해.
• 다양한 방향성 있는 폭 매개변수 간의 관계를 거의 완전한 그림으로 제시하기 위해.

제안 방법

• DAG-폭과 방향성 있는 트리 폭에 대한 죄수와 도둑 게임을 분석하며, 단조성 성질에 초점을 맞춘다.
• 약한 단조성 전략과 강한 단조성 전략 사이의 격차를 메우기 위해 약한 단조성 도구를 도입한다.
• 만약 k명의 죄수가 약하게 단조적으로 승리한다면, O(k²)명의 죄수가 단조적으로 승리할 수 있음을 증명하여 이차 상한을 확립한다.
• 트리 분해와 방향성 있는 트리 분해 기법을 사용하여 폭 측정치를 연결하고 부등식을 증명한다.
• 간선 방향 조정과 트리 분해에서의 경로 커버를 통해 모순 추론을 사용하여 불가능성 결과를 증명한다.
• 기존의 방향성 있는 트리 폭과 D-폭에 관한 결과를 활용하여 그 상대적 강도와 분리 가능성을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계된 켈리-폭이 유계된 DAG-폭을 암시하는가?
• RQ2 방향성 있는 트리 폭 게임에서의 죄수-단조성 비용(단조 전략 대 비단조 전략에 필요한 죄수 수)은 유계되는가?
• RQ3 D-폭이 방향성 있는 트리 폭보다 엄격히 강한가, 아니면 동치인가?
• RQ4 DAG-폭 게임에서의 단조성 비용은 어떤 함수로도 유계될 수 있는가?
• RQ5 켈리-폭과 DAG-폭 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유계된 켈리-폭이 유계된 DAG-폭을 암시함을 증명하여, 켈리-폭 정의 이후 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 방향성 있는 트리 폭 게임에서의 죄수-단조성 비용이 무한함을 증명하여, 방향성 있는 트리 폭이 D-폭보다 엄격히 약하다는 것을 입증한다.
• DAG-폭 게임에서, k명의 죄수가 약하게 단조적으로 승리한다면, O(k²)명의 죄수가 단조적으로 승리할 수 있음을 증명하여 이차 상한을 확립한다.
• 논문은 [Saf05]에서 제기한 D-폭과 방향성 있는 트리 폭이 동치라는 추측을 반박하며, 이들이 분리되어 있음을 보여준다.
• 대부분의 경우 엄밀한 부등식을 포함한, 방향성 있는 폭 측정치의 거의 완전한 계층을 수립한다.
• 결과적으로, 연구에서 다룬 폭 매개변수들 중에서 방향성 있는 트리 폭이 가장 일반적인 폭 매개변수임을 보여주며, DAG-폭과 켈리-폭은 그 아래에 위치한다.