[논문 리뷰] Dirichlet forms and degenerate elliptic operators

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 01. 14.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 R^d 위에서 비강한 타원형 연산자에 대해 정규 강한 국소 딜레르흐 형식을 사용하여 통합된 프레임워크를 수립한다. 이에 따라 관련된 진화 셈그룹이 가측 집합 간의 거리 함수 d(A;B)에 의해 정의된 비대칭 감쇠 추정을 만족함을 보여준다. 주요 결과는 모든 t>0에 대해 ||(φ_A, S_t φ_B)|| ≤ exp(–d(A;B)²/(4t)) ||φ_A||₂ ||φ_B||₂ 이며, S_t가 L²(A)를 보존하는 것은 d(A;Aᶜ)=∞일 때에만 성립한다.

ABSTRACT

It is shown that the theory of real symmetric second-order elliptic operators in divergence form on $\Ri^d$ can be formulated in terms of a regular strongly local Dirichlet form irregardless of the order of degeneracy. The behaviour of the corresponding evolution semigroup $S_t$ can be described in terms of a function $(A,B) \mapsto d(A ;B)\in[0,\infty]$ over pairs of measurable subsets of $\Ri^d$. Then \[ |(ϕ_A,S_tϕ_B)|\leq e^{-d(A;B)^2(4t)^{-1}}\|ϕ_A\|_2\|ϕ_B\|_2 \] for all $t>0$ and all $ϕ_A\in L_2(A)$, $ϕ_B\in L_2(B)$. Moreover $S_tL_2(A)\subseteq L_2(A)$ for all $t>0$ if and only if $d(A ;A^c)=\infty$ where $A^c$ denotes the complement of $A$.

연구 동기 및 목표

• R^d 위에서 가측 계수를 가진 2차 타원형 연산자에 대한 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 표준 이차형식 이론이 닫힘이 없는 비강한 타원형(비강한) 연산자에 대해 실패하는 한계를 극복하기 위해.
• 가측 집합 A와 B 사이의 거리 함수 d(A;B)를 사용하여 이러한 연산자와 관련된 진화 셈그룹 S_t를 특성화하기 위해.
• S_t가 모든 t>0에 대해 L²(A)를 보존하는 조건을 설정하고, 이를 d(A;Aᶜ)=∞와 연결하기 위해.

제안 방법

• h가 닫혀 있지 않은 경우에도 존재 보장이 가능한, h에 의해 지배되는 최대의 닫히는 형식인 정규 부분 h_r을 통해 타원형 연산자를 수립한다.
• 자기수반 연산자 H₀를 정규화된 형식 h_ε = h + εl의 강한 해열 극한으로 구성한다. 여기서 l은 라플라스 연산자의 딜레르흐 형식이다.
• d(A;B) = inf{d(x;y) : x∈A, y∈B}로 정의된 거리 함수를 정의한다. 여기서 d(x;y) = sup{|ψ(x)−ψ(y)| : ψ∈D(E) ∩ L∞, |||Ĩψ||| ≤ 1}이며, Ĩψ는 ψ에 관련된 에너지 측도이다.
• 딜레르흐 형식의 에너지 측도와 국소 정규성 성질을 이용하여 거리 함수를 통해 셈그룹 커널의 비대칭 경계를 유도한다.
• 분할 단위 조건 하에서 d(A;B)와 d₁(A;B)의 등가성을 확립한다: 컴팩트 집합에 대해, 에너지 측도가 작은 커팅 함수가 존재하면 d(A;B) = d₁(A;B)이다.
• 거리 함수와 딜레르흐 형식의 구조를 이용하여 S_tL²(A) ⊆ L²(A) for all t>0이 성립하는 것은 d(A;Aᶜ) = ∞일 때에만 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 이차형식이 닫혀 있지 않은 경우, 비강한 타원형 연산자를 어떻게 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 비강한 계수를 가진 연산자에 대해 자기수반 연산자를 구성할 때, 이차형식의 정규 부분 h_r의 역할은 무엇인가?
• RQ3 가측 집합 A와 B 사이의 기하적 거리 함수 d(A;B)를 사용하여 이러한 연산자와 관련된 진화 셈그룹 S_t를 유계로 제한할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 셈그룹 S_t가 가측 집합 A에 대한 부분공간 L²(A)를 보존하는가?
• RQ5 에너지 측도가 제어 가능한 유계 함수를 사용해 정의된 단순한 변형 d₁(A;B)와 거리 함수 d(A;B)는 동치인가?

주요 결과

• 모든 t>0과 모든 φ_A ∈ L²(A), φ_B ∈ L²(B)에 대해 셈그룹 S_t는 비대칭 감쇠 추정식 |(φ_A, S_t φ_B)| ≤ exp(–d(A;B)²/(4t)) ||φ_A||₂ ||φ_B||₂ 를 만족한다.
• 모든 t>0에 대해 S_t가 L²(A)를 보존하는 것은 d(A;Aᶜ) = ∞일 때에만 성립한다. 여기서 Aᶜ는 A의 여집합이다.
• 공간에 에너지 측도가 임의로 작은 커팅 함수가 존재하는 조건이 충족되면, d(A;B)와 d₁(A;B)는 동치이며, 이는 컴팩트 집합에 대해 d(A;B) = d₁(A;B)임을 보장한다.
• 구간 (0,1)에서 딜레르흐 경계 조건을 가진 라플라스 연산자의 경우, A = (0,a), B = (b,1)이고 a<b 이면 d₁(A;B) = 0 이지만, d(A;B) ≥ b−a 이다. 이는 d₁이 d보다 엄격히 작을 수 있음을 보여준다.
• 계수 행렬 C가 일관되게 양의 정부호이면, 거리 함수 d(x;y)는 행렬 C에 의해 유도된 리만 기하학적 거리와 일치한다.
• H₀를 H_ε = H + εΔ의 극한으로 구성함으로써, h가 닫혀 있지 않은 경우에도 H₀가 잘 정의됨을 보장하며, 이는 비강한 연산자에 대해 강력한 방법을 제공한다.