[논문 리뷰] Dirichlet heat kernel estimates for fractional Laplacian under non-local perturbation

Zhen-Qing Chen, Ting Yang|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 $C^{1,1}$ 도메인에서 비국소 연산자 $\sigma^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$의 딜리클레 열핵에 대해 날카운 이면 추정을 수립한다. 여기서 $\mathcal{S}^{b}$는 분수 라플라스 연산자의 비국소적 교란항이다. 주요 결과는 전이 밀도 $p^{b}_{D}(t,x,y)$에 대한 정밀한 점근적 추정으로, $\lambda_{1}$가 도메인 $D$에서 생성자에 대한 첫 번째 고유값일 때, $e^{-\lambda_{1}t}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})(1\wedge\delta_{D}(y)^{\alpha/2})$와 유사하게 행동함을 보여준다. 이는 교란 핵에 대한 약간의 양성 조건을 만족할 경우에 성립한다.

ABSTRACT

For $d\ge 2$ and $0\varepsilon\}} (f(x+z)-f(x))\frac{b(x,z)}{|z|^{d+β}}\,dz, $$ and $b(x,z)$ is a bounded measurable function on $\mathbb{R}^{d} imes\mathbb{R}^{d}$ with $b(x,z)=b(x,-z)$ for every $x,z\in\mathbb{R}^{d}$. Here ${\cal A}(d, -β)$ is a normalizing constant so that $\mathcal{S}^b=-(-Δ)^{β/2}$ when $b(x, z)\equiv 1$. It was recently shown in Chen and Wang [arXiv:1312.7594 [math.PR]] that when $b(x, z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d, -α)} {\mathcal{A}(d, -β)}\, |z|^{β-α}$, then $\mathcal{L}^b$ admits a unique fundamental solution $p^b(t, x, y)$ which is strictly positive and continuous. The kernel $p^b(t, x, y)$ uniquely determines a conservative Feller process $X^b$, which has strong Feller property. The Feller process $X^b$ is also the unique solution to the martingale problem of $(\mathcal{L}^b, \mathcal{S}(\mathbb{R}^d))$, where $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ denotes the space of tempered functions on $\mathbb{R}^d$. In this paper, we are concerned with the subprocess $X^{b,D}$ of $X^{b}$ killed upon leaving a bounded $C^{1,1}$ open set $D\subset \mathbb{R}^d$. We establish explicit sharp two-sided estimates for the transition density function of $X^{b, D}$.

연구 동기 및 목표

• 유계 $C^{1,1}$ 도메인에서 비국소 연산자 $\mathcal{L}^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$의 딜리클레 열핵에 대해 날카운 이면 추정을 도출하는 것.
• 유계 $C^{1,1}$ 도메인에서 퇴출될 때 정지하는 부분과정에 대해 전이 밀도 $p^{b}_{D}(t,x,y)$의 존재성과 정칙성을 확립하는 것.
• 열핵 추정을 이용하여 유계 $C^{1,1}$ 도메인에서 $\mathcal{L}^{b}$의 그린 함수에 대한 명시적 추정을 구하는 것.
• $\mathcal{L}^{b}$의 스펙트럼 성질을 분석하고, 특히 첫 번째 고유값 $\lambda_{1}$와 그가 열핵의 장기적 행동에 미치는 영향을 규명하는 것.

제안 방법

• 분석은 이전 연구에서 확립된 바에 따르면, $\mathbb{R}^d$에서 전체 생성자 $\mathcal{L}^{b}$에 대해 엄격히 양성이고, 함께 연속적인 기본 해 $p^{b}(t,x,y)$의 존재에 기반한다.
• 딜리클레 열핵 $p^{b}_{D}(t,x,y)$는 유계 $C^{1,1}$ 도메인 $D$를 벗어날 때 정지하는 부분과정 $X^{b,D}$의 전이 밀도로 정의된다.
• 정밀한 이면 추정은 찰턴-콜모고로프 식, 영역 단조성, 그리고 전체 공간 핵 $p^{b}(t,x,y)$에 대한 기존 추정을 이용하여 $p^{b}_{D}(t,x,y)$에 대해 유도된다.
• 이 방법은 시간 간격에 걸쳐 전이 밀도를 분해하고, 헬더 부등식 및 이전 추정에서 유도된 하한 및 상한을 적용하는 것을 포함한다.
• 첫 번째 고유값 $\lambda_{1}$에 관련된 고유함수 $\phi$는 $\lambda_{1}$의 추정과 열핵의 장기적 감쇠가 $e^{-\lambda_{1}t}$와 관련이 있음을 밝혀내는 데 사용된다.
• 최종 추정은 스펙트럼 갭과 고유함수의 양성 조건을 이용하여 경계 행동 $1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2}$와 지수 감쇠 $e^{-\lambda_{1}t}$를 결합함으로써 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 $C^{1,1}$ 도메인 $D$에서 비국소 연산자 $\mathcal{L}^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$의 딜리클레 열핵 $p^{b}_{D}(t,x,y)$에 대한 날카운 이면 추정은 무엇인가?
• RQ2 제약 조건 $b(x,z)$가 유계이고 대칭인 비국소적 교란 $\mathcal{S}^{b}$는 전이 밀도와 그 장기적 감쇠에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 열핵이 경계에서의 거리 $\delta_{D}(x)$ 및 $\delta_{D}(y)$에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ4 생성자 $\mathcal{L}^{b,D}$의 첫 번째 고유값 $\lambda_{1}$은 열핵의 장기적 점근적 행동과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 열핵 추정을 이용하여 $D$에서 $\mathcal{L}^{b}$의 그린 함수에 대해 날카운 추정을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 딜리클레 열핵 $p^{b}_{D}(t,x,y)$는 모든 $t>0$ 및 $x,y\in D$에 대해 $p^{b}_{D}(t,x,y) \asymp e^{-\lambda_{1}t}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})(1\wedge\delta_{D}(y)^{\alpha/2})$를 만족한다. 여기서 $\lambda_{1}$는 $\mathcal{L}^{b,D}$의 첫 번째 고유값이다.
• 첫 번째 고유값 $\lambda_{1}$는 양이며, $d$, $\alpha$, $\beta$, $D$, $A$, $M$에 따라 일관되게 0과 무한대로부터 멀리 떨어져 있다. 이는 시간에 따른 지수 감쇠를 보장한다.
• 전이 밀도의 하한은 $t \in (T,\infty)$ 및 $|x-y| < 4\varepsilon(A)/5$에 대해 균일하게 성립하며, $C_{38}$는 $d$, $\alpha$, $\beta$, $D$, $A$, $M$, $T$에 따라 달라지며, 추정식은 $e^{-\lambda^{b,D_{x}\cup D_{y}}_{1}t}\delta_{D}(x)\delta_{D}(y)$를 포함한다.
• 고유값 $\lambda_{1}$에 관련된 고유함수 $\phi$는 $c_{2}^{-1}e^{-\lambda_{1}} \leq \phi(x) \leq c_{2}e^{-\lambda_{1}}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})$를 만족하여, 경계에서의 감쇠가 정확히 $\delta_{D}(x)^{\alpha/2}$임을 보여준다.
• $\mathcal{L}^{b}$의 그린 함수는 열핵 추정에서 직접 유도되는 날카운 이면 추정을 가지며, 동일한 $\delta_{D}(x)^{\alpha/2}\delta_{D}(y)^{\alpha/2}$ 행동을 보인다.
• 조건 $b(x,z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d,-\alpha)}{\mathcal{A}(d,-\beta)}|z|^{\beta-\alpha}$ 하에서 추정은 안정적이며, 이는 관련된 펠러 과정 $X^{b}$의 양성과 보존성을 보장한다.