[논문 리뷰] Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for the 1D and 2D Heat and Wave Equations in Multiple subdomains

Martin J. Gander, Félix Kwok외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 14.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원 열 방정식과 파동 방정식을 공간-시간 영역 분할을 통해 비중첩 영역으로 나누어 풀기 위한 Dirichlet-Neumann 파형 완화(DNWR) 방법을 제안한다. 경계 조건으로 번갈아가며 Dirichlet 및 Neumann 조건을 적용하는 반복 하위영역 해법을 사용한다. 열 방정식의 경우 유한 시간 창 내에서 θ=1/2의 이완 매개수를 사용할 때 초선형 수렴이 증명된다. 파동 방정식의 경우 유사한 조건 하에서 유한 단계 수렴이 달성되며, 최적화된 슈바르츠 WR 방법보다 빠른 수렴 속도를 보인다.

ABSTRACT

We present a Waveform Relaxation (WR) version of the Dirichlet-Neumann algorithm, formulated specially for multiple subdomains splitting for general parabolic and hyperbolic problems. This method is based on a non-overlapping spatial domain decomposition, and the iteration involves subdomain solves in space-time with corresponding interface condition, and finally organize an exchange of information between neighboring subdomains. Using a Fourier-Laplace transform argument, for a particular relaxation parameter, we present convergence analysis of the algorithm for the heat and wave equations. We prove superlinear convergence for finite time window in case of the heat equation, and finite step convergence for the wave equation. The convergence behavior however depends on the size of the subdomains and the time window length on which the algorithm is employed. We illustrate the performance of the algorithm with numerical results, and show a comparison with classical and optimized Schwarz WR methods.

연구 동기 및 목표

• 편미분방정식의 포물형 및 쌍곡형 방정식에 대해 DNWR 방법을 2개의 하위영역에서 다수의 하위영역으로 확장한다.
• 푸리에-라플라스 변환을 사용하여 1D 열 방정식 및 파동 방정식에 대한 DNWR 수렴 행동을 분석한다.
• 2D 파동 방정식으로 DNWR 프레임워크를 일반화하고 수치적 방법으로 수렴 성질을 검증한다.
• 수렴 속도 및 계산 비용 측면에서 DNWR의 성능을 최적화된 슈바르츠 파형 완화(SWR) 및 뉴먼-뉴먼 WR(NNWR)와 비교한다.
• 하위영역 간의 비균일한 시간 격자 및 불연속적인 파동 속도 조건에서도 DNWR의 강건성을 입증한다.

제안 방법

• 하위영역 경계에서 번갈아가며 Dirichlet 및 Neumann 조건을 적용하는 비중첩 공간-시간 영역 분할 방법을 수립한다.
• 유한 시간 창 내에서 반복적으로 하위영역 문제를 풀며, 먼저 경계에서 Dirichlet 조건을, 다음에는 Neumann 조건을 적용한다. 이 과정에서 파형 완화 기법을 사용한다.
• 수렴을 안정화하고 가속화하기 위해 이완 매개수 θ ∈ (0,1]을 적용하며, θ=1/2일 때 열 방정식 및 파동 방정식 양쪽 모두에서 최적의 수렴 성능을 보임을 입증하였다.
• 1D 열 방정식 및 파동 방정식의 수렴 속도를 유도하기 위해 푸리에-라플라스 변환 분석을 적용한다.
• 유한 차분 공간 이산화 및 비균일 시간 스텝을 사용한 수치적 구현을 통해 이론적 결과를 검증한다.
• 비균일 시간 격자 사용 시 하위영역 간 데이터 교환을 위해 시간 투영 기법을 적용하며, 병합 정렬 유사 알고리즘을 통해 선형 복잡도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 하위영역과 유한 시간 창을 가진 1D 열 방정식에 대해 DNWR 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ2 1D 파동 방정식에 대해 DNWR 방법이 유한 단계 수렴을 달성할 수 있으며, 시간 창과 하위영역 크기에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 DNWR 방법은 2차원 파동 방정식으로 어떻게 확장되며, 관찰된 수렴 성질은 어떠한가?
• RQ4 DNWR는 최적화된 슈바르츠 파형 완화(SWR) 및 뉴먼-뉴먼 WR(NNWR)와 비교해 수렴 속도 및 계산 비용 측면에서 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ5 하위영역에서 비균일한 시간 격자 및 불연속적인 파동 속도를 사용할 경우 DNWR는 수렴성과 안정성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 1D 열 방정식의 경우, 시간 창 T에 대해 T ≤ kh_min/c 조건 하에서 이완 매개수 θ=1/2를 사용할 때 초선형 수렴이 증명된다.
• 1D 파동 방정식의 경우, T ≤ kh_min/c 조건 하에서 θ=1/2일 때 최대 두 번의 반복 내에 유한 단계 수렴이 달성된다.
• 2D 파동 방정식의 경우, T < kh_min/c 조건 하에서 유사한 1D 경우와 유사한 행동을 보이며, 유한 단계 수렴이 달성된다.
• 수치적 결과는 DNWR가 최적화된 슈바르츠 파형 완화(SWR)보다 수렴 속도가 더 빠르다는 것을 보여준다. 특히 고차원에서 두드러진다.
• NNWR는 DNWR보다 수렴 속도가 더 빠르지만, 각 하위영역에서 Dirichlet 및 Neumann 하위문제를 모두 풀어야 하므로 반복당 계산 비용이 거의 두 배에 이른다.
• 비균일한 시간 격자 및 불연속적인 파동 속도 조건에서도 DNWR는 수렴성을 유지하며, T=2일 경우 3단계 반복 내에서 수렴이 입증되었다.