[논문 리뷰] Discontinuous Almost Automorphic Functions and Almost Automorphic Solutions of Differential Equations with Piecewise Constant Argument

Alan Chávez, Samuel Castillo외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 04.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 26인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 조각적 상수 인자를 가진 미분방정식(DEPCA)에서 자연스럽게 나타나는 불연속 함수인 Z-거의 자동 함수를 도입하여, 거의 자동 해를 연구한다. 지수적 분리와 이산 양방향 거의 자동 Green 함수를 활용함으로써, 비자율적 DEPCA의 유계 해가 정수에 대한 이산 제약 조건이 이산적으로 거의 자동일 때이고 오직 그 때에만 거의 자동임을 증명한다. 이는 거의 자동 해 이론을 하이브리드 연속-이산 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article we introduce a class of discontinuous almost automorphic functions which appears naturally in the study of almost automorphic solutions of differential equations with piecewise constant argument. Their fundamental properties are used to prove the almost automorphicity of bounded solutions of a system of differential equations with piecewise constant argument. Due to the strong discrete character of these equations, the existence of a unique discrete almost automorphic solution of a non-autonomous almost automorphic difference system is obtained, for which conditions of exponential dichotomy and discrete Bi-almost automorphicity are fundamental.

연구 동기 및 목표

• DEPCA 이론에서 불연속적인 거의 자동 함수에 대한 체계적인 다루기가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 조각적 상수 인자를 가진 하이브리드 미분방정식에서 거의 자동 해의 프레임워크를 구축하기 위해.
• 비자율적 DEPCA의 유계 해가 정수에 대한 수열이 이산적으로 거의 자동일 때이고 오직 그 때에만 거의 자동임을 증명하기 위해.
• DEPCA에서 거의 주기적 및 페우로 거의 주기적 해에 대한 기존 결과를 거의 자동 설정으로 일반화하기 위해.
• 불연속적이지만 정수에서 구조적 규칙성을 유지하는 Z-거의 자동 함수를 도입하고 그 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 거의 자동 함수를 이산점으로 일반화하는 새로운 불연속 함수 클래스로 Z-거의 자동 함수를 도입하기 위해.
• 행렬 A와 B의 동시에 삼각화를 사용하여 시스템을 스칼라 방정식의 계층적 사슬으로 분해하기 위해.
• 지수적 분리 조건을 적용하여 관련 차분 연산자의 안정성과 가역성을 보장하기 위해.
• 이산 양방향 거의 자동 Green 함수를 사용하여 차분 방정식 x(n+1) = D(n)x(n) + h(n)에 대해 유일한 이산적으로 거의 자동 해를 구성하기 위해.
• 이산 수열 x(n)이 이산적으로 거의 자동이면, 삼각화된 시스템에서의 역대입을 통해 연속 해 x(t)가 거의 자동임을 증명하기 위해.
• 거의 자동 함수와 Z-거의 자동 함수의 합성(예: f([t]))이 여전히 Z-거의 자동임을 활용하여 재귀적 분석을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각적 상수 인자를 가진 미분방정식의 유계 해가 정수 제약 조건이 불연속일지라도 거의 자동일 수 있는가?
• RQ2 비자율적 차분 방정식에 대해 이산적으로 거의 자동 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 DEPCA에서 x([t])의 불연속성을 다루기 위해 Z-거의 자동 함수를 어떻게 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ4 연속 해 x(t)의 거의 자동성과 수열 x(n)의 이산적으로 거의 자동성은 동치인가?
• RQ5 지수적 분리 조건이 DEPCA에서 유래된 차분 방정식에 대해 이산적으로 거의 자동 해의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• DEPCA x'(t) = Ax(t) + Bx([t]) + f(t)의 유계 해 x(t)는 정수 수열 x(n)이 이산적으로 거의 자동일 때이고 오직 그 때에만 거의 자동이다.
• 지수적 분리 조건과 D(n), h(n)의 이산 양방향 거의 자동성 하에, 차분 방정식 x(n+1) = D(n)x(n) + h(n)에 대해 유일한 이산적으로 거의 자동 해가 존재함을 보장한다.
• Z-거의 자동 함수는 Dads와 Lachimi가 도입한 불연속적인 거의 주기 함수를 일반화하며, DEPCA 분석에 자연스러운 프레임워크를 제공한다.
• x([t])가 불연속이지만 Z-거의 자동 성격을 지닌다는 점과 시스템의 재귀적 구조 덕분에 DEPCA의 해 x(t)는 거의 자동이다.
• 행렬 A와 B가 동시에 삼각화 가능할 조건 하에, 이는 시스템 차원에 대한 수학적 귀납법을 통한 재귀적 증명이 가능하다.
• 계량들은 f가 Z-거의 주기적 또는 유리수 주기를 가진 Z-주기적일 경우, 유계 해가 각각 거의 주기적 또는 주기적임을 보여주며, 이는 x(n)의 이산적 행동에 따라 달라진다.