[논문 리뷰] Discontinuous Dynamical Systems: A tutorial on solutions, nonsmooth analysis, and stability

Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 23.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 1인용 수 401

한 줄 요약

이 논문은 비연속 동역학계에 대한 종합적인 안내서를 제시하며, 해의 정의, 비연속 동역학의 분석, 안정성 보장에 대한 엄밀한 프레임워크를 소개한다. 일반화된 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 확립하고, 필리포프 해와 집합값 리 도함수와 같은 도구를 도입하며, 제어, 기계공학, 최적화 분야에서 발생하는 비연속성을 가진 시스템 분석의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

This paper considers discontinuous dynamical systems, i.e., systems whose associated vector field is a discontinuous function of the state. Discontinuous dynamical systems arise in a large number of applications, including optimal control, nonsmooth mechanics, and robotic manipulation. Independently of the particular application, one always faces similar questions when dealing with discontinuous dynamical systems. The most basic one is the notion of solution. We begin by introducing the notions of Caratheodory, Filippov and sample-and-hold solutions, discuss existence and uniqueness results for them, and examine various examples. We also give specific pointers to other notions of solution defined in the literature. Once the notion of solution has been settled, we turn our attention to the analysis of stability of discontinuous systems. We introduce the concepts of generalized gradient of locally Lipschitz functions and proximal subdifferential of lower semicontinuous functions. Building on these notions, we establish monotonic properties of candidate Lyapunov functions along the solutions. These results are key in providing suitable generalizations of Lyapunov stability theorems and the LaSalle Invariance Principle. We illustrate the applicability of these results in a class of nonsmooth gradient flows.

연구 동기 및 목표

• 비연속 벡터장에서 고전적 해가 존재하지 않을 수 있는 상황에서 의미 있는 해를 정의하는 데 핵심적인 과제를 해결하기 위해.
• 비연속 동역학을 가진 시스템에 적용 가능한 일반화된 도함수와 집합값 리 도함수를 포함한 비연속 분석을 위한 견고한 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비연속 및 집합값 동역학에 적응된 라플라스 기반 방법을 활용해 비연속 시스템의 안정성 조건을 확립하기 위해.
• 슬라이딩 모드 제어, 충격역학, 최적 제어와 같은 다양한 응용을 동일한 수학적 형식으로 통합하고 체계화하기 위해.
• 스위칭, 마찰, 충격 또는 비연속 피드백을 포함한 시스템을 다루는 연구자와 전문가를 위한 자가 포함된 참고자료를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비연속 지점에서의 벡터장 값의 볼록결합을 취해 비연속 벡터장에 대한 해를 정의하는 필리포프 해 개념을 도입한다.
• 비연속 설정에서 라플라스 함수의 시간 도함수를 분석하기 위해 국소 리프시츠 함수와 상부 집합값 리 도함수의 개념을 적용한다.
• 시간에 따라 변화하는 시스템에 대해 카라테오도리 유형의 존재 정리를 적용하여, 벡터장에 대한 미약한 정규성 조건 하에서도 해의 존재를 보장한다.
• 슬라이딩 모드의 개념을 도입하고, 필리포프 볼록화 방법과 일반화된 라플라스 함수를 통해 그 안정성을 분석한다.
• 접촉 및 충격 역학을 모델링하기 위해 볼록집합으로부터의 거리 함수와 최소거리 함수와 같은 비연속 분석 도구를 적용한다.
• 비연속 동역학을 가진 시스템을 표현하기 위해 집합값 함수와 미분포함수를 활용하여 하이브리드 및 비연속 시스템에 대한 통합적 접근을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터장의 비연속성으로 인해 고전적 해가 존재하지 않을 경우, 비연속 동역학계에 대해 어떻게 해를 정의할 수 있는가?
• RQ2 마찰이나 충격이 존재하는 상황에서 비연속 벡터장을 가진 시스템의 해가 존재하고 유일하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 도함수와 집합값 리 도함수를 활용해 비연속 시스템으로 확장된 라플라스 기반 안정성 분석은 어떻게 수행할 수 있는가?
• RQ4 슬라이딩 모드는 비연속 피드백을 가진 시스템을 안정화하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 그 존재성과 안정성은 어떻게 엄밀하게 확립할 수 있는가?
• RQ5 비연속 분석 도구—예를 들어 국소 리프시츠 함수와 볼록결합—는 허브터모스타트, 로봇 액추에이터, 최적 제어 시스템과 같은 실제 시스템을 어떻게 모델링하고 분석하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 필리포프 해 개념은 비연속 시스템의 궤적을 수학적으로 엄밀하게 정의할 수 있는 방법을 제공하여, 고전적 해가 실패하는 브릭-온-램프 문제와 같은 문제를 해결한다.
• $\ddot{x} + \operatorname{sign}(x) = 0$로 기술되는 비연속 조화진동자는 유한 시간 내 평형점으로 수렴하며, 필리포프의 프레임워크를 통해 해가 존재한다.
• 비연속 피드백을 포함한 시스템, 예를 들어 일차원 예시 $\dot{x} = x[(u-1)^2 - (x-1)][(u+1)^2 + (x-2)]$에서는 연속적인 안정화 피드백이 존재하지 않으며, 이에 따라 비연속 제어 법칙이 필수적이다.
• 벡터장의 시간에 대한 가측성, 상태에 대한 연속성, 국소 본질적 유계성 조건이 만족되면 카라테오도리 해의 존재가 보장된다.
• 상부 집합값 리 도함수를 통해 비연속 시스템에서 라플라스 함수의 안정성 분석이 가능해지며, 이는 점근적 안정성에 대한 충분조건 유도에 기여한다.
• 볼록 함수와 국소 리프시츠 함수는 비연속 분석의 기초가 되며, 일반화된 기울기를 보장하고 비연속 시스템에서 안정성 기준을 정의하는 데 필수적이다.