[논문 리뷰] Discontinuous Galerkin Methods for the Biharmonic Problem on Polygonal and Polyhedral Meshes

Zhaonan Dong|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 20.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 34인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 다각형 및 다면체 메esh에서 빌라르모닉 문제를 위한 $hp$-버전 대칭 내부 페널티 비연속 갈레르킨 유한요소법(DGFEM)을 제안한다. 물리 기준좌표계에서 정의된 다항식 기저 $\mathcal{P}_p$를 사용하여 기준 요소 매핑을 피하고, 임의의 면 수를 가진 다각형 요소에서 조화 다항식에 대한 새로운 역부등식을 통해 기울기 면수준의 안정성과 최적 수렴률을 확보한다. 이는 기울기 면이 존재하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We introduce an $hp$-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for the numerical approximation of the biharmonic equation on general computational meshes consisting of polygonal/polyhedral (polytopic) elements. In particular, the stability and $hp$-version a-priori error bound are derived based on the specific choice of the interior penalty parameters which allows for edges/faces degeneration. Furthermore, by deriving a new inverse inequality for a special class {of} polynomial functions (harmonic polynomials), the proposed DGFEM is proven to be stable to incorporate very general polygonal/polyhedral elements with an \emph{arbitrary} number of faces for polynomial basis with degree $p=2,3$. The key feature of the proposed method is that it employs elemental polynomial bases of total degree $\mathcal{P}_p$, defined in the physical coordinate system, without requiring the mapping from a given reference or canonical frame. A series of numerical experiments are presented to demonstrate the performance of the proposed DGFEM on general polygonal/polyhedral meshes.

연구 동기 및 목표

• 일반 다각형 메쉬에서 빌라르모닉 방정식에 대해 안정적이고 최적 수렴성을 갖는 $hp$-버전 비연속 갈레르킨 방법을 개발한다.
• 요소 형태와 면 수에 대한 제약 조건을 제거하고, 기울기 $(d-k)$-차원 면이 포함된 경우에도 최적 수렴성을 유지한다.
• 가정 5.1을 만족하는 다각형 요소에서 조화 다항식에 대한 새로운 역부등식을 수립하여, 임의의 면 수를 가진 요소에서 $p=2,3$일 때 안정성을 확보한다.
• 높은 면 수와 임의의 요소 형태를 가진 메쉬에서의 수치 실험을 통해 방법의 강건성을 입증한다.
• 이식된 매핑 없이 비연속적인 물리 기준좌표계 다항식 기저 $\mathcal{P}_p$를 사용하여 $H^2$-일치 문제에 대한 $hp$-적응 전략의 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 물리 좌표계에서 직접 정의된 $\mathcal{P}_p$-형 다항식 기저를 사용하여 기준 요소 매핑을 회피한다.
• 다각형 요소에서 기울기 면이 존재할 경우에도 안정성을 확보하기 위해 적절히 선택된 페널티 계수를 사용하는 대칭 내부 페널티 형식을 적용한다.
• 임의의 면 수를 가진 다각형 요소에서 조화 다항식에 대한 새로운 역부등식을 유도하여 $H^1$-반노름을 $L^2$-노름으로 제한함으로써 안정성 확보에 기여한다.
• 분석은 두 가지 메쉬 가정에 기반한다: 면 수가 균일하게 유계인 가정(가정 4.1)과 임의의 면 수를 允허하는 가정(가정 5.1)이며, 후자는 새로운 역부등식이 필요하다.
• 두 가정 모두에서 방법이 안정적이고 최적 수렴성을 보이며, DG-노름에서 수렴률 $\mathcal{O}(h^{p-1})$, 깨진 $H^1$-반노름에서 $\mathcal{O}(h^p)$, $L^2$-노름에서 $p \geq 3$일 경우 $\mathcal{O}(h^{p+1})$를 확보한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 오차 한계를 검증하고, 8,000개 이상의 요소와 요소당 수백 개의 면을 가진 메쉬에서도 안정성이 유지됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 다각형/다면체 메쉬에서 기울기 면이 존재하는 경우에도 대칭 내부 페널티 DGFEM이 빌라르모닉 문제에 대해 최적의 $hp$-수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 면 수가 임의로 많은 다각형 요소에서 $p=2,3$인 $\mathcal{P}_p$-기반 DGFEM에 대해 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 가정 5.1을 만족하는 다각형 요소에서 조화 다항식에 대한 새로운 역부등식이 최소한의 메쉬 가정 하에 이러한 DGFEM의 안정성과 수렴성을 지원할 수 있는가?
• RQ4 많은 작은 면을 가진 매우 비정규적인 메쉬에서 이 방법의 성능은 어떻게 되는가? 특히 조건수와 수렴률 측면에서 어떻게 평가되는가?
• RQ5 일반 다각형 요소에서 물리 기준좌표계 다항식 기저 $\mathcal{P}_p$를 사용할 경우, 매핑된 $\mathcal{Q}_p$ 기저보다 각 자유도당 수렴 성능이 더 우수한가?

주요 결과

• 제안된 $hp$-버전 대칭 IP-DGFEM은 메쉬를 세밀하게 할수록 모든 $p \geq 2$에서 DG-노름에서 최적 수렴률 $\mathcal{O}(h^{p-1})$을 확보한다.
• 깨진 $H^1$-반노름 오차는 고정된 $p$에서 최적 수렴률 $\mathcal{O}(h^p)$로 수렴한다.
• $L^2$-노름 오차는 $p \geq 3$일 경우 수렴률 $\mathcal{O}(h^{p+1})$를 보이며, $p=2$일 경우 $\mathcal{O}(h^2)$로 알려진 부분 최적성과 일치한다.
• 가정 5.1을 만족하는 다각형 요소에서 조화 다항식에 대한 새로운 역부등식은 $p=2,3$일 때 면 수가 임의로 많은 요소에서도 안정성과 최적 수렴성을 보장한다.
• 수치 실험을 통해 $h$-세분화 및 $p$-세분화된 다각형 메쉬에서 이론적 수렴률이 그대로 유지됨을 확인하였으며, 요소 수가 8,000개 이상이고 요소당 수백 개의 면을 가진 메쉬에서도 동일하게 적용된다.
• 매우 비정규적인 다각형 메쉬에서 요소가 많은 작은 면을 포함하더라도 DGFEM의 조건수는 표준 메쉬 수준을 유지하여 수치적 강건성을 입증한다.