[논문 리뷰] Discontinuous Galerkin schemes for a class of Hamiltonian evolution equations with applications to plasma fluid and kinetic problems

Ammar Hakim, G. W. Hammett외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 05.

Magnetic confinement fusion research참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 플라즈마 유체 및 운동계 시스템의 해밀토니안 진화 방정식을 위한 에너지 보존성 혼합 불연속 갈레르킨(DG) 및 연속 갈레르킨(CG) 스킴을 제시한다. 이 방법은 분포 함수를 DG로 진화시키면서 해밀토니안을 연속 부분공간에 제약함으로써 에너지 보존을 보장하며, 중심 조건을 사용할 경우 $L_2$ 노름과 엔트로피를 보존하고, 상류 조건을 사용할 경우 안정성을 확보하기 위해 단조 감소하는 $L_2$ 노름을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we present energy-conserving, mixed discontinuous Galerkin (DG) and continuous Galerkin (CG) schemes for the solution of a broad class of physical systems described by Hamiltonian evolution equations. These systems often arise in fluid mechanics (incompressible Euler equations) and plasma physics (Vlasov--Poisson equations and gyrokinetic equations), for example. The dynamics is described by a distribution function that evolves given a Hamiltonian and a corresponding Poisson bracket operator, with the Hamiltonian itself computed from field equations. Hamiltonian systems have several conserved quantities, including the quadratic invariants of total energy and the $L_2$ norm of the distribution function. For accurate simulations one must ensure that these quadratic invariants are conserved by the discrete scheme. We show that using a discontinuous Galerkin scheme to evolve the distribution function and ensuring that the Hamiltonian lies in its continuous subspace leads to an energy-conserving scheme in the continuous-time limit. Further, the $L_2$ norm is conserved if central fluxes are used to update the distribution function, but decays monotonically when using upwind fluxes. The conservation of density and $L_2$ norm is then used to show that the entropy is a non-decreasing function of time. The proofs shown here apply to any Hamiltonian system, including ones in which the Poisson bracket operator is non-canonical (for example, the gyrokinetic equations). We demonstrate the ability of the scheme to solve the Vlasov--Poisson and incompressible Euler equations in 2D and provide references where we have applied these schemes to solve the much more complex 5D electrostatic and electromagnetic gyrokinetic equations.

연구 동기 및 목표

• 플라즈마 물리학 및 유체역학에서 해밀토니안 진화 방정식에 대해 핵심 물리적 불변량—특히 에너지와 $L_2$ 노름—을 보존하는 수치 스킴을 개발한다.
• 분포 함수에 대해 DG를, 해밀토니안에 대해 CG를 조합함으로써 연속 시간 근사에서 에너지 보존을 확보한다.
• 다른 수치적 조건(중심 대비 상류) 선택에 따라 $L_2$ 노름과 엔트로피의 보존 성질을 분석한다.
• 2차원에서의 복소성 문제인 복소진동과 이중shear 흐름과 같은 벤치마크 문제에서 스킴의 강건성과 정확성을 입증한다.
• 고차원 5차원 기저운동계 시스템의 고정밀 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해 보존성, 효율성, 확장 가능성을 갖춘 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 분포 함수는 DG로 진화시키고 해밀토니안은 연속 부분공간에 투영함으로써 에너지 보존을 보장하는 혼합 DG/CV(연속 갈레르킨) 수식을 사용한다.
• 스킴은 해밀토니안 진화 방정식 $\partial_t f + \{f, H\} = 0$ 에 기반하며, 자코비안과 위상공간 속도를 사용해 보존법 형태로 재작성된다.
• 요소 경계에서 수치적 조건을 적용한다: 중심 조건은 $L_2$ 노름과 엔트로피를 보존하고, 상류 조건은 격자 스케일 안정성을 확보하기 위해 단조 감소하는 $L_2$ 노름을 유도한다.
• 스킴은 스펙트럴 요소 유사 기저 함수와 자동 코드 생성을 사용하여 2차원에서 Vlasov–Poisson 및 비압축성 Euler 방정식에 적용된다.
• 에너지 보존은 시간 스텝 스킴의 순서에 따라 연속 시간 근사에서 독립적으로 증명되며, 이는 위상공간 이동의 기하학적 구조가 에너지 등고선과 관련이 있기 때문이다.
• 스킴은 Gkeyll 코드베이스에 구현되었으며, 버전 제어된 입력 파일과 conda 기반 배포를 통해 완전한 재현 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 Poisson 괄호를 가진 해밀토니안 시스템에서 에너지를 보존하는 불연속 갈레르킨 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ2 DG에서 중심 조건을 사용할 경우 분포 함수의 $L_2$ 노름과 엔트로피가 보존되는가?
• RQ3 상류 조건은 $L_2$ 노름 보존에 어떤 영향을 미치며, 소규모 구조의 안정성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 복잡한 5차원 플라즈마 시스템에서 핵심 불변량을 보존하면서도 고차원 정확도와 효율성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 다양한 다항식 차수는 장시간 시뮬레이션에서 정확도와 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 스킴은 시간 스텝 스킴의 순서에 따라 연속 시간 근사에서 조건 유형에 관계없이 총 에너지를 보존한다.
• 중심 조건을 사용할 경우 분포 함수의 $L_2$ 노름이 보존되고, 상류 조건을 사용할 경우 단조 감소하여 안정성을 보장한다.
• $L_2$ 노름과 입자 수 보존 덕분에 엔트로피가 시간이 지남에 따라 감소하지 않음을 증명하였다.
• $p=2$ (SP2) 스킴은 더 낮은 $p=1$ (SP1) 스킴 대비 더 높은 정확도와 더 빠른 런타임을 보이며, 더 희박한 격자에서 성능 최적점임을 나타낸다.
• 복소진동과 이중shear 문제의 시뮬레이션은 미세 격자에서 에너지와 $L_2$ 노름의 뛰어난 보존성과 최소한의 위상 오차를 보였다.
• 이 방법은 5차원 전기적 및 자기적 기저운동계 방정식으로 성공적으로 확장되어 고차원 플라즈마 문제에 대한 확장성과 타당성을 입증하였다.