[논문 리뷰] Discorrelation between primes in short intervals and polynomial phases

Kaisa Matomäki, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 짧은 간격에서 von Mangoldt 함수의 지수합에 대해 다항수 위상과의 비상관관계를 추정하며, 이러한 합이 작은데, 다항수 위상의 계수가 작은 분모를 가진 유리수에 가까운 경우를 제외하고는 작다는 것을 보여준다. 주요 결과는 짧은 간격 길이 $ H = N^\theta $의 범위를 $ \theta > 2/3 $까지 확장하여 이전 결과보다 변수 수가 적은 짧은 간격 버전의 Waring-Goldbach 문제를 해결할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Let $H = N^θ, θ> 2/3$ and $k \geq 1$. We obtain estimates for the following exponential sum over primes in short intervals: \[ \sum_{N < n \leq N+H} Λ(n) e(g(n)), \] where $g$ is a polynomial of degree $k$. As a consequence of this in the special case $g(n) = αn^k$, we deduce a short interval version of the Waring-Goldbach problem.

연구 동기 및 목표

• 지수합 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(g(n)) $에 대한 날카운 estimates를 짧은 간격에서 $ H = N^\theta $, $ g $가 차수 $ k $의 다항식인 경우에 구축하는 것.
• 이러한 합이 작게(비상관관계가 있음) 유지되는 $ \theta $의 범위를 확장하여, 위상이 '메이저 아크' 경우가 아닐 경우에 해당하는 조건을 찾는 것.
• 개선된 지수합 추정치를 응용하여 이전에 알려진 바보다 변수 수가 적은 짧은 간격 버전의 Waring-Goldbach 문제를 해결하는 것.
• 일반적인 다항수 위상 $ g(n) $에 대해 단항식 $ \alpha n^k $의 결과를 일반화하고, 모비우스 함수에 대한 분석도 확장하는 것.

제안 방법

• 원주법을 사용하여 지수합을 메이저 아크와 마이너 아크로 분해하며, 메이저 아크는 주요 계수의 유리수 근사로 정의된다.
• 최근 해결된 바이노바드 평균값 정리(최근 해결됨)를 사용하여 마이너 아크에서 지수합의 $ L^{2t} $-노름을 제어하는 것.
• 이중형식과 W-트릭 기법을 사용하여 짧은 간격에서 von Mangoldt 함수를 다루는 것.
• 핵심 전이형 추정치 수립: 합이 크다면 주요 계수 $ \alpha_k $는 작은 분모를 가진 유리수로 잘 근사되어야 한다는 것.
• 허슬리의 제로 밀도 추정치를 사용하여 메이저 아크 기여를 소수 정리의 등차수열에서의 적용을 통해 제어하는 것.
• 그린-타오의 비상관관계 프레임워크를 짧은 간격 설정으로 일반화하여 다항수 위상에 대해 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수합 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) $이 짧은 간격 $ (N, N+H] $에서 작게 유지되는 $ \theta $의 범위를 $ \theta > 19/24 $를 초월하여 확장할 수 있는가?
• RQ2 위상 $ \alpha $가 어떤 조건일 경우 합 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) $이 작지 않게 되며, 이러한 경우는 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ3 Waring-Goldbach 문제를 $ \theta > 2/3 $에서 짧은 간격에서 해결할 수 있으며, 몇 개의 변수가 필요한가?
• RQ4 모든 차수 $ k $의 다항식에 대해 소수와 다항수 위상 간의 비상관관계가 일관되게 성립하는가? 단일항이 아닌 일반적인 다항식에 대해서도 마찬가지인가?
• RQ5 모비우스 함수에 대해서도 짧은 간격에서 유사한 비상관관계 추정치를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• $ H = N^\theta $, $ \theta > 2/3 $일 때, 지수합 $ \left| \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) \right| $ 는 $ \ll H / (\log N)^A $ 이다. 다만 $ \| q\alpha \| \leq (\log N)^{O_k(A)} / (N^{k-1} H) $ 를 만족하는 작은 $ q \leq (\log N)^{O_k(A)} $ 가 존재하는 경우를 제외하고는 그렇다.
• $ \alpha $ 에 대한 조건은 다항식 $ \alpha n^k $ 이 모듈로 $ q $ 에서 간격 $ (N, N+H] $ 에서 거의 상수 함수가 되도록 함을 의미하며, 이는 메이저 아크 케이스에 해당한다.
• 주요 결과는 Waring-Goldbach 문제의 짧은 간격 버전을 이끌어내며, 모든 충분히 큰 $ N \equiv s \pmod{R(k)} $ 이고 $ s \geq k(k+1)+3 $, $ \theta > 2/3 $ 일 때, $ (N/s)^{1/k} $ 에서 $ N^{\theta/k} $ 이내의 거리에서 $ s $ 개의 소수의 $ k $ 승 합으로 표현 가능하다.
• 필요한 변수 수 $ s $ 는 $ k(k+1)+3 $ 으로 개선되었으며, 이는 바이노바드 평균값 정리의 해결과 결합하여 이전 결과보다 더 우수한 결과를 제공한다.
• 모비우스 함수의 경우, $ \theta > 2/3 $ 일 때 모든 차수 $ k $ 의 다항식 $ g $ 에 대해 $ \sum_{N < n \leq N+H} \mu(n) e(g(n)) \ll_{k,A} H / (\log N)^A $ 이 일관되게 성립한다.
• 분석 결과, 신규 지수합 추정치와 바이노바드 평균값 정리의 조합으로 인해 $ \theta > 2/3 $ 일 때 마이너 아크 기여는 무시할 수 있을 정도로 작다.