[논문 리뷰] Discovering Asymptotic Expansions Using Symbolic Regression

Rasul Abdusalamov, Julius Kaplunov외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Neural Networks and Applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 정확한 해를 이용해 학습 데이터를 생성함으로써 기계학에서 渐近 전개를 발견하기 위한 기호 회귀(SR) 방법을 제안한다. 연구는 두 질량 충돌, 켈빈-보이트 점성탄성체, 레일리-램프 파동과 같은 문제들에 대해 수렴하는 및 발산하는 모두 두 유형의 渐近 급수를 정확하게 복원할 수 있음을 보여주며, 분석 기준과 높은 일치도를 보이며, 실험 또는 수치 데이터로부터 푸아송 비율과 같은 재료 매개변수를 식별할 가능성도 제시한다.

ABSTRACT

Recently, symbolic regression (SR) has demonstrated its efficiency for discovering basic governing relations in physical systems. A major impact can be potentially achieved by coupling symbolic regression with asymptotic methodology. The main advantage of asymptotic approach involves the robust approximation to the sought for solution bringing a clear idea of the effect of problem parameters. However, the analytic derivation of the asymptotic series is often highly nontrivial especially, when the exact solution is not available. In this paper, we adapt SR methodology to discover asymptotic series. As an illustration we consider three problem in mechanics, including two-mass collision, viscoelastic behavior of a Kelvin-Voigt solid and propagation of Rayleigh-Lamb waves. The training data is generated from the explicit exact solutions of these problems. The obtained SR results are compared to the benchmark asymptotic expansions of the above mentioned exact solutions. Both convergent and divergent asymptotic series are considered. A good agreement between SR expansions and analytical results is observed. It is demonstrated that the proposed approach can be used to identify material parameters, e.g. Poisson's ratio, and has high prospects for utilizing experimental and numerical data.

연구 동기 및 목표

• 해석적 유도가 복잡한 기계 시스템에서 渐近 전개를 발견하기 위한 기호 회귀 프레임워크를 개발하기.
• 수렴 및 발산 유형의 모두를 포함한 알려진 渐近 급수 복원 정확도를 SR이 얼마나 잘 수행하는지 평가하기.
• 수치적 또는 실험적 데이터로부터의 渐近 행동 추출 가능성을 SR을 통해 입증하기.
• 파동 전파 데이터로부터 푸아송 비율과 같은 재료 매개변수를 식별하는 데 SR을 적용해 보고자 하기.

제안 방법

• 두 질량 충돌, 켈빈-보이트 점성탄성 모델, 레일리-램프 파동 전파와 같은 세 가지 기계 문제의 정확한 해를 이용해 학습 데이터를 생성하기.
• 사용 가능한 수학적 함수 및 연산의 사전 정의된 집합을 기반으로 유전적 프로그래밍 기반의 탐색을 적용하여 닫힌 형태의 표현식을 발견하기.
• 기준 渐近 급수와의 비교를 통해 SR에 의해 유도된 전개의 품질을 평가하기 위한 피트니스 지표 사용하기.
• 스케일링 법칙과 물리적 매개변수(예: δ, η, θ)를 입력으로 포함하여 渐近적으로 타당한 함수 형태 탐색을 안내하기.
• 수렴 및 발산하는 渐近 행동을 모두 포함하기 위해 소수 파arameter(δ ≪ 1) 및 대수 파arameter(δ ≫ 1) 영역 모두에서 방법 테스트하기.
• 로그 항과 다항식 항을 포함한 알려진 분석적 渐近 급수와의 비교를 통해 결과 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 해가 존재하는 기계 시스템에 대해 기호 회귀가 알려진 渐近 전개를 정확하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 SR은 다양한 물리적 영역에서 수렴 및 발산 유형의 渐近 급수를 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ3 SR은 파동 행동의 渐近 특성에서 의미 있는 물리적 매개변수(예: 푸아송 비율)를 식별할 수 있는가?
• RQ4 정확한 해가 없을 경우, SR은 수치 시뮬레이션 또는 실험 데이터에 얼마나 잘 적용될 수 있는가?
• RQ5 SR은 복잡한 파동 문제에서 로그 항과 고차항 보정을 포함한 渐近 구조를 발견할 수 있는가?

주요 결과

• 두 질량 충돌 문제에 대해 기호 회귀는 분석 결과와 뛰어난 일치도를 보이며, 최상의 근사에서 피트니스 값이 4.876 × 10−13까지 낮아진 바람직한 성능을 보였다.
• 켈빈-보이트 점성탄성 모델의 경우, δ ≪ 1 영역에서 발산하는 渐近 급수를 정확히 포착하였으며, 피트니스 값이 10−5 이하로 유지되었고, δ ≫ 1 경우에 로그 항을 식별하였다.
• 레일리-램프 파동 문제에서 K4에 대한 SR 유도 전개는 기준 급수와 강한 일치도를 보였으며, 여러 시험에서 피트니스 값이 5 × 10−5 이하로 유지되었다.
• 특히 δ ≫ 1 영역에서 복잡한 함수 형태, 예를 들어 내재된 로그 항과 고차 다항식 보정 항을 포함한 형태를 강건하게 식별하는 데 성공하였다.
• SR 결과를 통해 파동 행동의 渐近 특성에 맞추어 푸아송 비율을 추정할 수 있었으며, 이는 데이터 기반 역매개변수 식별의 잠재력을 시사한다.
• 최상의 SR 근사에서 피트니스 값이 1.17 × 10−16 이하로 유지되어 일부 케이스에서 분석적 渐近 전개와 거의 완벽한 일치를 보였다.