[논문 리뷰] Discrete ABP Estimate and Convergence Rates for Linear Elliptic Equations in Non-divergence Form

Ricardo H. Nochetto, Wujun Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 21.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비발산 형식의 선형 타원형 PDE에 대해 이중 척도 유한요소법을 제안하며, 미세 척도 FEM과 거시 척도 적분미분 근사법을 조합하여 최적 수렴 속도를 달성한다. 이는 이산 아르코플로프-바켈레프-푸크스(ABP) 추정을 수립하고, $ h^{2\beta/(2+\beta)} |\text{ln}\thinspace h| $ 정도의 점별 오차 추정을 증명한다. 이는 $ C^{2,\beta} $ 정규성 조건 하에서 준최적이다.

ABSTRACT

We design a two-scale finite element method (FEM) for linear elliptic PDEs in non-divergence form $A(x) : D^2 u(x) = f(x)$ in a bounded but not necessarily convex domain $Ω$ and study it in the max norm. The fine scale is given by the meshsize $h$ whereas the coarse scale $ε$ is dictated by an integro-differential approximation of the PDE. We show that the FEM satisfies the discrete maximum principle (DMP) for any uniformly positive definite matrix $A$ provided that the mesh is face weakly acute. We establish a discrete Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) estimate which is suitable for finite element analysis. Its proof relies on a discrete Alexandroff estimate which expresses the min of a convex piecewise linear function in terms of the measure of its sub-differential, and thus of jumps of its gradient. The discrete ABP estimate leads, under suitable regularity assumptions on $A$ and $u$, to pointwise error estimates of the form \begin{equation*} \| u - u^ε_h \|_{L_\infty(Ω)} \leq \, C(A,u) \, h^{2α/(2 + α)} \big| \ln h \big| \qquad 0< α\leq 2, \end{equation*} provided $ε\approx h^{2/(2+α)}$. Such a convergence rate is at best of order $ h \big| \ln h \big|$, which turns out to be quasi-optimal.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 영역에서 비발산 형식의 선형 타원형 PDE에 대해 안정적이고 수렴하는 유한요소법을 개발한다.
• 면이 약한 예각 메쉬 조건 하에서(piecewise linear FEM에 대해) 이산 최대원리(DMP)를 수립한다.
• 유한요소 오차 분석에 적합한 이산 아르코플로프-바켈레프-푸크스(ABP) 추정을 유도한다.
• 계수 행렬과 해에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 최대노름에서의 수렴 속도를 정량화한다.
• 적응형 거시 척도 매개변수 $ \epsilon $를 사용한 이중 척도 FEM 시뮬레이션을 통해 이론적 수렴 속도를 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 미세 척도 메쉬 크기 $ h $ 와 거시 척도 $ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $ 를 사용한 이중 척도 유한요소법(FEM)을 설계하며, 여기서 $ \alpha $ 는 해의 정규성 정도를 수량화한다.
• 이산 아르코플로프 추정을 도입하여, 볼록(piecewise linear) 함수의 최솟값을 그의 부분미분의 측도와 기울기 점프를 통해 표현한다.
• 이산 ABP 추정을 수립하여 오차의 음의 부분을 이산 연산자 일致성 오차로 제한한다.
• 메쉬가 면이 약한 예각이면, 임의의 균일하게 양의 정부호 행렬 $ A $ 에 대해 이산 최대원리(DMP)를 증명한다.
• 이산 ABP 추정을 활용해, 해가 $ C^{2,\alpha} $-정규성이고 계수 행렬이 $ C^{0,\alpha} $-정규성일 경우, 점별 $ L^\infty $ 오차 추정을 유도한다.
• 적응형 $ \epsilon $ 를 사용한 이중 척도 FEM 해법기를 구현하고, $ C^{2,\alpha} $-해와 $ C^{0,\alpha} $-계수에 대해 수렴 속도를 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비발산 형식 타원형 PDE에 대한 이중 척도 FEM이 최대노름에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 비볼록 영역에서(piecewise linear FEM을 사용할 경우) 어떤 이산 안정성 및 최대원리 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ3 유한요소법을 위한 비발산 형식 PDE의 점별 오차를 제한하기 위해 어떻게 이산 ABP 추정을 구성할 수 있는가?
• RQ4 수렴 속도를 극대화하기 위해 미세 척도 해상도 $ h $ 와 거시 척도 매개변수 $ \epsilon $ 사이의 최적 균형은 무엇인가?
• RQ5 이론적 수렴 속도 $ h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $ 가 $ C^{2,\alpha} $-해와 $ C^{0,\alpha} $-계수에 대해 수치적으로 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 척도 FEM은 메쉬가 면이 약한 예각이면, 임의의 균일하게 양의 정부호 계수 행렬 $ A $ 에 대해 이산 최대원리를 만족한다.
• 이산 아르코플로프 추정이 도출되었으며, 이는 볼록(piecewise linear) 함수의 최솟값을 그의 부분미분의 측도와 기울기 점프를 통해 표현한다.
• 이산 ABP 추정이 수립되었으며, 이는 점별 $ L^\infty $ 오차 통제를 가능하게 하고 수렴 분석의 핵심 요소이다.
• $ C^{2,\alpha} $-정규성의 해와 $ C^{0,\alpha} $-정규성의 $ A $ 조건 하에서, 방법은 수렴 속도 $ \|u - u_h^\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C(A,u) h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $ 를 달성하며, 이때 $ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $ 이다.
• 수치 실험은 $ \alpha = 0.4 $ 인 경우 예측된 수렴 속도 $ O(h^{1/3}) $ 를 확인하였으며, 이는 이론적 경계와 일치한다.
• 만약 $ \epsilon $ 가 $ O(h^{2/(3+\alpha)}) $ 로 선택되면, 수치적으로 약 $ O(h^{0.82}) $ 의 더 빠른 수렴 속도가 관찰되었으며, 이는 $ C^{2,\alpha} $-이론을 초월한 향상된 수렴 속도 가능성에 대한 시사를 제공한다.