[논문 리뷰] Discrete Adjoints for Accurate Numerical Optimization with Application to Quantum Control

N. Anders Petersson, Fortino Garcia외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 20인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 대칭 구조를 유지하는 시간 이산화 및 일관된 이산 적자 방법을 사용하여 양자 제어에서 정확한 수치 최적화를 위한 이산 적자 방법을 제안한다. 이는 심플렉틱 Störmer-Verlet 시간 적분기법과 정확한 기울기 계산을 가능하게 하는 일관된 이산 적자 체계를 활용한다. 이 방법은 제어 매개변수의 수에 관계없이 계산 비용이 일정한 제어 펄스 최적화를 가능하게 하며, 초전도 큸디트 시뮬레이션을 통해 L-BFGS 및 IPOPT를 검증하였다.

ABSTRACT

This paper considers the optimal control problem for realizing logical gates in a closed quantum system. The quantum state is governed by Schrodinger's equation, which we formulate as a time-dependent Hamiltonian system in terms of the real and imaginary parts of the state vector. The system is discretized with the Stormer-Verlet scheme, which is a symplectic partitioned Runge-Kutta method. Our main theoretical contribution is the derivation of a compatible time-discretization of the adjoint state equation, such that the gradient of the discrete objective function can be calculated exactly, at a computational cost of solving two Schrödinger systems, independently of the number of parameters in the control functions. A parameterization of the control functions based on B-splines with built-in carrier waves is also introduced. The carrier waves are used to specify the frequency spectra of the control functions, while the B-spline functions specify their envelope and phase. This approach allows the number of control parameters to be independent of, and significantly smaller than, the number of time steps for integrating Schrodinger's equation. We consider Hamiltonians that model the dynamics of a superconducting multi-level qudit and present numerical examples of how the proposed technique can be combined with the interior point L-BFGS algorithm from the IPOPT package for realizing quantum gates. In a set of test cases, the proposed algorithm is shown to compare favorably with QuTiP/pulse_optim and Grape-Tensorflow.

연구 동기 및 목표

• 초전도 큄디트에서 높은 품질과 최소한의 붕괴를 달성하기 위해 양자 게이트의 제어 펄스를 최적화하는 데 도전한다.
• 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식에 의해 지배되는 최적 제어 문제를 위한 수치적으로 정확한 기울기 계산 방법을 개발한다.
• 시간 적분 과정에서 장기적인 수치 정확성과 심플렉틱 구조 보존을 확보하면서도 효율적인 기울기 평가를 가능하게 한다.
• 통합된 캐리어 파동을 가진 B-spline 매개변수화를 통해 시간 스텝 수 대비 제어 매개변수의 수를 감소시킨다.
• 시간 적분의 시간 스텝 수와 최적화 변수의 수를 분리함으로써 확장 가능한 최적화를 가능하게 한다.

제안 방법

• 상태 벡터의 실수부와 허수부를 사용하여 슈뢰딩거 방정식을 시간에 따라 변하는 해밀토니안 체계로 재구성한다.
• 기하학적 구조를 보존하기 위해 심플렉틱 분할 룬게쿠타 방법인 Störmer-Verlet 방법을 사용해 상태 방정식을 이산화한다.
• 이중 상태 방정식에 대해 일관된 이산 적자 체계를 유도하며, 시간에 따라 변하는 행렬은 수정된 시간 수준에서 평가된다.
• 캐리어 파동이 내장된 B-spline 매개변수화를 도입하여 주파수 스펙트럼 제어를 가능하게 하면서도 최적화 변수의 수를 줄인다.
• 제어 매개변수의 수와 무관하게 오직 두 개의 슈뢰딩거 시스템을 풀기만 해도 목적 함수의 이산 기울기를 정확히 계산한다.
• IPOPT 패키지의 내부점 L-BFGS 알고리즘과 이산 적자 방법을 결합하여 효율적인 최적화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 구조를 유지하면서 이산 적자 방법을 시간에 따라 변하는 해밀토니안 체계로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 상태 방정식이 Störmer-Verlet 방법으로 풀릴 경우, 시간 이산화된 이중 방정식에 대한 일관된 이산 적자 체계는 무엇인가?
• RQ3 캐리어 파동을 내장한 B-spline 매개변수화는 스펙트럼 제어를 희생시키지 않고 제어 매개변수의 수를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ4 이산 적자 방법을 사용해 정확한 기울기를 계산할 때의 계산 비용은 무엇이며, 시간 스텝 수와 매개변수 수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 기존의 QuTiP/pulse_optim 및 Grape-TensorFlow와 비교해 본 논문의 방법은 성능 및 정확도에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 이산 적자 방법은 제어 매개변수의 수에 관계없이 오직 두 개의 슈뢰딩거 시스템을 풀기만 해도 목적 함수의 이산 기울기를 정확히 계산할 수 있다.
• 일관된 이산 적자 체계는 시간 적분의 심플렉틱 구조를 보존하여 상태 및 이중 궤적의 장기적인 수치 정확성을 보장한다.
• 캐리어 파동을 내장한 B-spline 매개변수화를 통해 제어 펄스의 에너지 분포, 위상, 주파수 스펙트럼을 독립적으로 제어할 수 있으며, 최적화 변수의 수를 크게 줄일 수 있다.
• 초전도 다중 수준 큄디트에서의 수치 실험 결과, 제안된 방법은 QuTiP/pulse_optim 및 Grape-TensorFlow보다 수렴 속도와 게이트 품질에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 이론적 분석과 실험 결과는 높은 품질의 양자 게이트를 실현하면서도 자극 상태로의 누설를 줄였음을 보여주며, 이는 근접한 양자 컴퓨팅 환경에서 매우 중요하다.
• 기울기 계산은 효율적이고 확장 가능하며, 계산 비용이 제어 매개변수의 수에 의존하지 않아 대규모 최적화를 가능하게 한다.