[논문 리뷰] Discrete approximation and regularisation for the inverse conductivity problem

Luca Rondi|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 32인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 노이즈 수준에 따라 정규화 및 이산화 파ameter를 동시에 조정함으로써, 불연속적인 전도도를 가진 역전도도 문제에 대한 이산 정규화 해의 수렴성을 확립한다. 총 변동량 정규화와 유한요소 이산화를 사용하여, 노이즈가 사라질 때 해가 진짜 전도도로 수렴함을 증명한다. 이는 이산화 파ameter h가 노이즈 수준과 다항식적으로 감소할 조건 하에 성립한다.

ABSTRACT

We study the inverse conductivity problem with discontinuous conductivities. We consider, simultaneously, a regularisation and a discretisation for a variational approach to solve the inverse problem. We show that, under suitable choices of the regularisation and discretisation parameters, the discrete regularised solutions converge, as the noise level on the measurements goes to zero, to the looked for solution of the inverse problem.

연구 동기 및 목표

• 불연속적인 전도도를 가진 역전도도 문제의 불안정성과 잘 정의되지 않은 성격을 다루기 위해.
• 노이즈 수준에 따라 정규화 및 이산화 파ameter를 조정할 때, 이산 정규화 해의 수렴성을 엄밀히 정당화하기 위해.
• 고정된 정규화와 이산 근사화를 고려한 기존 연구와 달리, 동시에 정규화 및 이산화를 분석함으로써 문헌의 격차를 메우기 위해.
• 비연속적인 해를 가진 역전도도 문제의 수치적 방법에 대한 이론적 기반을 제공하기 위해.
• 변분 수렴 기법(Γ-수렴)을 완전히 이산화된 설정, 즉 유한요소 근사로 확장하기 위해.

제안 방법

• 티호노프 유형 정규화를 사용하여, min_σ ||Λ(σ) - ˆΛ||_Y + a R(σ) 형태의 변분 최소화 문제로 역전도도 문제를 공식화한다.
• 정규화 기능으로 총 변동량(TV) 정규화를 적용하며, R(σ) = ∫_Ω |∇σ|로 정의되어, 조각별로 스무스한 해를 촉진한다.
• 정규 삼각형 메esh 크기 h를 사용한 표준 적합한 조각별 선형 유한요소를 사용하여 전도도 공간을 이산화한다.
• 정규화 파ameter a와 이산화 파ameter h를 모두 노이즈 수준 ε의 함수로 설정하는 공동 파ameter 선택 기법을 도입한다.
• ε → 0일 때의 이산 정규화 기능의 극한 행동을 분석하기 위해 Γ-수렴 기법을 사용한다.
• 정규화의 모델로 암브로시오-토르토렐리의 무스퍼드-샤 프unktional 근사법을 사용하고, 이를 이산 유한요소 설정으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화 및 이산화 파ameter를 노이즈 수준에 맞게 조정할 때, 이산 정규화 해가 진짜 역전도도 문제의 해로 수렴할 수 있는가?
• RQ2 수렴을 보장하기 위해 이산화 파ameter h가 노이즈 수준 ε에 대해 어떤 비율로 감소해야 하는가?
• RQ3 총 변동량 정규화와 유한요소 이산화를 조합하여 안정적이고 수렴하는 수치적 해를 얻을 수 있는가?
• RQ4 정규화 및 이산화 파ameter를 공동으로 조정할 경우, 이산 정규화 해의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Γ-수렴 기법을 사용하여, 비연속적인 해를 가진 역문제에서의 완전히 이산화된 정규화 문제의 수렴성을 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 노이즈 수준 ε → 0일 때, 정규화 파ameter a와 이산화 파ameter h를 적절히 선택하면, 이산 정규화 해가 L¹(Ω)에서 진짜 전도도 σ₀로 수렴한다.
• 이산화 파ameter h는 노이즈 수준 ε에 대해 다항식적으로 감소해야 하며, 특히 h = O(ε^{1/β}) (β > 0) 형태여야 한다.
• 이산 정규화 해의 극한은 SBV(Ω)에 속하며, ∥Λ(˜σ) - Λ(σ₀)∥_Y = 0 조건을 만족하여, 정확히 역문제를 해결함을 의미한다.
• N = 2일 때, 추적 공간에 대한 추가 조건(밀도 조건)이 성립하면, 전체 이산 해 수열이 L¹(Ω)에서 σ₀로 수렴하며, 부분수열 수렴 외에도 전체 수렴이 성립한다.
• 수렴은 이산 정규화 기능 Fε,h가 극한 기능 F₀로 Γ-수렴함을 통해 확립되며, 이 극한 기능은 무스퍼드-샤 기능을 포함한다.
• 분석 결과, 총 변동량 정규화를 사용한 이산 유한요소 근사는 공동 파ameter 조정 하에 일致하고 안정함을 확인한다.