[논문 리뷰] Discrete choice prox-functions on the simplex

David A. Muller, Yurii Nesterov외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Consumer Market Behavior and Pricing인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 추가적 랜덤 유용성 모델, 특히 일반화된 극단가치 모델과 네스티드 로짓 모델에서 유도된 단순형 위에 있는 이산 선택 프록스 함수를 소개한다. 이러한 프록스 함수는 잉여 함수의 볼록 쌍대 함수로서 작용하며, 자연스러운 확률적 해석을 가진 프록시 서브기울기 방법을 가능하게 한다. 주요 기여는 소비자 행동을 소비 주기로 모델링하는 이중 평균화 기법으로, 유용성 최적화 문제에서 이중성 갭의 최적 수렴 속도 O(1/√k)를 달성한다.

ABSTRACT

We derive new prox-functions on the simplex from additive random utility models of discrete choice. They are convex conjugates of the corresponding surplus functions. In particular, we explicitly derive the convexity parameter of discrete choice prox-functions associated with generalized extreme value models, and specifically with generalized nested logit models. Incorporated into subgradient schemes, discrete choice prox-functions lead to natural probabilistic interpretations of the iteration steps. As illustration we discuss an economic application of discrete choice prox-functions in consumer theory. The dual averaging scheme from convex programming naturally adjusts demand within a consumption cycle.

연구 동기 및 목표

• 이산 선택 이론에 뿌리를 둔 단순형 위의 새로운 프록스 함수를 개발하는 것.
• 볼록 쌍대 함수를 통한 추가적 랜덤 유용성 모델과 볼록 최적화 간의 연결을 수립하는 것.
• 프록시 방법을 사용한 소비자 이론에서 서브기울기 반복의 행동 해석을 제공하는 것.
• 로짓 모델을 더 넓은 이산 선택 프레임워크로 대체하여 기존의 소비 주기 모델을 일반화하는 것.
• 일반화된 극단가치 모델과 네스티드 로짓 모델에 대해 명시적인 볼록성 매개변수를 유도하는 것.

제안 방법

• 추가적 랜덤 유용성 모델에서 잉여 함수의 볼록 쌍대 함수로서 프록스 함수를 유도하는 것.
• 단순형 위에서 볼록 쌍대 함수의 연속성, 강한 볼록성, 계산 가능성에 대한 증명.
• 일반화된 극단가치 모델과 일반화된 네스티드 로짓 모델에 대해 볼록성 매개변수 β를 명시적으로 계산하는 것.
• 프록스 함수를 볼록 최적화를 위한 이중 평균화 기법에 통합하는 것.
• 정규화된 변수 p(i) = σ(i)λ(i)를 사용하여 이중 문제를 단순형 위의 보조 문제로 재구성하는 것.
• 이중 평균화 기법을 초기화하기 위해 p₀ = arg minₚ∈∆ d(p)인 프록스 중심을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 이산 선택 모델을 사용하여 유리한 최적화 성질을 지닌 단순형 위의 새로운 프록스 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 극단가치 모델에서 유도된 프록스 함수의 볼록성 매개변수 β는 무엇인가?
• RQ3 이중 평균화 기법은 소비자 이론에서 자연스러운 소비 주기로 해석될 수 있는가?
• RQ4 잉여 함수의 볼록 쌍대 함수로부터 반복 단계의 확률적 해석은 어떻게 도출되는가?
• RQ5 제안된 소비 주기 프레임워크에서 이중성 갭의 수렴 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 추가적 랜덤 유용성 모델에서 유도된 잉여 함수의 볼록 쌍대 함수는 연속성, 강한 볼록성, 계산 가능성을 만족하는 단순형 위의 유효한 프록스 함수이다.
• 일반화된 극단가치 모델의 경우, 볼록성 매개변수 β가 명시적으로 유도되어 보다 날카로운 복잡도 경계를 가능하게 한다.
• 일반화된 네스티드 로짓 모델의 경우, 볼록성 매개변수 역시 명시적으로 계산되어 프레임워크의 적용 가능성을 확장한다.
• 이중 평균화 기법은 내부 가격이 추가적 랜덤 유용성 모델과 일관된 확률적 규칙에 따라 업데이트되는 소비 주기로 이어진다.
• 원래 문제와 이중 문제 간의 이중성 갭은 최적 속도 O(1/√k)로 수렴하며, 이는 (D + M²/β)/√(k+1) 비례 상한을 가진다.
• 수렴 상한은 랜덤 오차의 기대 범위 E[ǫ(i)]와 최대 서브기울기 노름 M에 의존하며, 이는 상품 간 최대 품질 대 가격 비율에 비례한다.