[논문 리뷰] Discrete compactness for the p-version of discrete differential forms

Daniele Boffi, Martin Costabel외 3명|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 28.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다각형 영역에서 $p$-버전의 $H(\operatorname{curl})$-일치 유한요소 방법에 대해 일반화된 Nédélec 모서리 요소를 사용하여 $\mathbb{R}^d$ 내에서 이산 컴actness 성질을 수립한다. 매끄러운 Poincaré 상승 연산자와 투영 기반 보간을 활용하여, 2차원 및 3차원에서 널리 사용되는 모서리 유한요소 가족이 스펙트르 수렴하고 잡음 모드 없이 수렴함을 증명한다. 이는 맥스웰 고유값 문제에 대해 성립한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the discrete compactness property for a wide class of p-version finite element approximations of non-elliptic variational eigenvalue problems in two and three space dimensions. In a very general framework, we find sufficient conditions for the p-version of a generalized discrete compactness property, which is formulated in the setting of discrete differential forms of any order on a d-dimensional polyhedral domain. One of the main tools for the analysis is a recently introduced smoothed Poincaré lifting operator [M. Costabel and A. McIntosh, On Bogovskii and regularized Poincaré integral operators for de Rham complexes on Lipschitz domains, Math. Z., (2010)]. For forms of order 1 our analysis shows that several widely used families of edge finite elements satisfy the discrete compactness property in p-version and hence provide convergent solutions to the Maxwell eigenvalue problem. In particular, Nédélec elements on triangles and tetrahedra (first and second kind) and on parallelograms and parallelepipeds (first kind) are covered by our theory.

연구 동기 및 목표

• 2차원 및 3차원에서 $H(\operatorname{curl})$-일치 유한요소 방법의 $p$-버전에 대해 이산 컴팩트니스 성질을 수립하는 것.
• 다각형 영역에서 차수 $\ell$의 이산 미분형식의 $p$-버전 분석을 위한 일반적 프레임워크를 제공하는 것.
• 표준 모서리 유한요소 가족이 $p$-재분할 하에서 이산 컴팩트니스 성질을 만족하는지 확인하는 것.
• 맥스웰 고유값 문제의 수렴 분석을 변수 물성 계수 및 일반적인 $p$-재분할 전략으로 확장하는 것.
• 삼각형, 테트라헤드론, 평행사변형 및 평행육면체에서 Nédélec 요소의 $p$-버전이 잡음 없는 스펙트르 정확한 근사를 제공하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 최근 개발된 매끄러운 Poincaré 상승 연산자를 활용하여 연속성과 이산 미분형식과의 호환성을 확보한다.
• 최근의 $p$-버전 유한요소에 대한 오차 추정에서 유도된 $L^2$-노름에서 $p$-균일 유계성을 갖는 투영 기반 보간 연산자를 적용한다.
• 유한요소 공간과 보간 연산자에 대한 자연스러운 가정 집합을 통해 이산 컴팩트니스 성질을 수립한다.
• 하향 차원의 면에서 잘 정의된 경계값을 확보하기 위해 경계 정리와 소볼레프 정규성 추정을 활용한다.
• 이산 미분형식 이론의 추상적 프레임워크를 활용하여 표준 유한요소 공간을 초월한 분석을 일반화한다.
• 특정 요소에서의 $H(\operatorname{curl})$-일치 모서리 요소, 특히 다양한 요소에서의 첫 번째 및 두 번째 종류 Nédélec 요소에 대한 적용을 통해 접근법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 $p$-버전 모서리 유한요소 가족이 맥스웰 고유값 문제에 대해 이산 컴팩트니스 성질을 만족하는가?
• RQ2 이산 미분형식 이론의 일반적 프레임워크를 통해 $H(\operatorname{curl})$-일치 $p$-재분할 유한요소에 대해 이산 컴팩트니스 성질을 수립할 수 있는가?
• RQ3 보간 연산자 및 상승 연산자에 대해 어떤 조건이 비타당한 타원형 고유값 문제에 대한 $p$-버전 이산화의 수렴을 보장하는가?
• RQ4 맥스웰 고유값 문제에서 일반적인 물성 계수 $\epsilon$ 및 $\mu$로 이론을 어느 정도까지 확장할 수 있는가?
• RQ5 현재 접근법이 $hp$-재분할 또는 $d > 3$ 차원으로 확장되지 않는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 삼각형, 테트라헤드론, 평행사변형 및 평행육면체에서 Nédélec 모서리 요소의 $p$-버전은 이산 컴팩트니스 성질을 만족한다.
• 이산 컴팩트니스 성질은 $p$-버전 갈레르킨 근사가 맥스웰 고유값 문제에서 스펙트르 수렴하고 잡음 모드 없이 수렴함을 보장한다.
• 매끄러운 Poincaré 상승 연산자는 균일한 연속성과 이산 미분형식과의 호환성을 보장하며, 핵심 기술적 도구가 된다.
• 분석은 물성 계수 $\epsilon$ 및 $\mu$가 균일하게 양의 정부호일 경우 일반적인 경우로 확장되며, 정규화된 경우를 초월한다.
• 변동 다항식 차수에서 투영 연산자의 $L^2$-유계성 유지 기술적 과제로 인해 $hp$-재분할은 이론에서 다루지 않는다.
• 다섯 번째 차원 이상의 경우, 경계 정규성 제약과 고차원 다각형 요소에 대한 $p$-균일 유계성 결과 부족으로 인해 확장이 방해받는다.