[논문 리뷰] Discrete exterior calculus

Jerrold E. Marsden, Anil N. Hirani|arXiv (Cornell University)|2003. 01. 01.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 57인용 수 490

한 줄 요약

이 논문은 단순체와 그 이중체 위에서 오직 이산 기하학적 및 조합론적 연산만을 사용하여 이산 외부 미분학(DEC) 프레임워크를 개발한다. 여기서는 연속적인 대응체를 반영하는 이산 미분 형식, 벡터장, 연산자들을 도입한다. 주요 기여는 제어된 보간을 통해 강화된 순수 이산적 공식화로, 기존의 알려진 공식들을 정확히 복원할 수 있으며, 변분 문제와 제약 조건이 있는 시스템에서의 구조를 유지하는 수치적 방법의 기초를 제공한다.

ABSTRACT

This thesis presents the beginnings of a theory of discrete exterior calculus (DEC). Our approach is to develop DEC using only discrete combinatorial and geometric operations on a simplicial complex and its geometric dual. The derivation of these may require that the objects on the discrete mesh, but not the mesh itself, are interpolated. Our theory includes not only discrete equivalents of differential forms, but also discrete vector fields and the operators acting on these objects. Definitions are given for discrete versions of all the usual operators of exterior calculus. The presence of forms and vector fields allows us to address their various interactions, which are important in applications. In many examples we find that the formulas derived from DEC are identical to the existing formulas in the literature. We also show that the circumcentric dual of a simplicial complex plays a useful role in the metric dependent part of this theory. The appearance of dual complexes leads to a proliferation of the operators in the discrete theory. One potential application of DEC is to variational problems which come equipped with a rich exterior calculus structure. On the discrete level, such structures will be enhanced by the availability of DEC. One of the objectives of this thesis is to fill this gap. There are many constraints in numerical algorithms that naturally involve differential forms. Preserving such features directly on the discrete level is another goal, overlapping with our goals for variational problems. In this thesis we have tried to push a purely discrete point of view as far as possible. We argue that this can only be pushed so far, and that interpolation is a useful device. For example, we found that interpolation of functions and vector fields is a very convenient. In future work we intend to continue this interpolation point of view, extending it to higher degree forms, especially in the context of the sharp, Lie derivative and interior product operators. Some preliminary ideas on this point of view are presented in the thesis. We also present some preliminary calculations of formulas on regular nonsimplicial complexes.

연구 동기 및 목표

• 단순체와 그 이중체 위에서 오직 이산 기하학적 및 조합론적 연산에 기반한 이산 외부 미분학(DEC) 프레임워크를 수립하기 위해.
• 외부 미분, 코미분, 하도스토어 연산자와 같은 표준 외부 미분학 연산자의 이산적 대응체인 미분 형식, 벡터장, 모든 연산자를 정의하기 위해.
• 외부 이론에서 메트릭에 의존하는 연산을 가능하게 하는 데서 원추 중심 이중 복합체가 자연스럽게 기여하는 바를 보여주기 위해.
• 특히 미분 형식과 변분 원리가 포함된 수치 알고리즘에서 내재된 기하학적 및 위상수학적 구조를 유지하기 위해.
• 보간의 역할을 탐색하여 DEC를 고차원 형식과 스터프, 리에이트 복합체, 내부 곱과 같은 고급 연산자로 확장하는 데 기여하기 위해.

제안 방법

• 이론은 연속 다양체를 피하고 단순체와 그 기하학적 이중체 위의 오직 이산 데이터를 사용하여 구성된다.
• 이산 미분 형식은 단순체 위의 코체인 복합체를 통해 정의되며, 이산 벡터장은 이중 복합체 위에서 정의된다.
• 외부 미분 및 코미분과 같은 연산자는 조합론적으로 정의되며, 하도스토어 연산자는 원추 중심 이중체로부터 유도된다.
• 함수와 벡터장의 보간은 연속 이론과의 일관성을 유지하면서도 이산 프레임워크를 확장하는 도구로 도입된다.
• 이론의 타당성을 입증하기 위해 이산 공식이 문헌에서 알려진 결과들을 정확히 재현함을 보였다.
• 기하학적 및 조합론적 추론을 사용하여 정규 비단순체 복합체로의 예비 확장을 탐색하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 단순체와 그 이중체 위에서 오직 이산 기하학적 및 조합론적 연산만을 사용하여 이산 외부 미분학을 구성할 수 있는가?
• RQ2 원추 중심 이중체는 이산 외부 미분학에서 메트릭에 의존하는 연산을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 순수 이산 환경에서 이산 벡터장과 그 형식과의 상호작용을 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ4 함수와 벡터장의 보간은 연속 다각형을 사용하지 않고도 이산 미분학 프레임워크를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 이산 연산자와 구조는 고전적 외부 미분학의 알려진 공식들을 복원할 수 있으며, 어떤 조건에서 그러한 복원이 이루어지는가?

주요 결과

• 이산 외부 미분학 프레임워크는 표준 예제에 적용되었을 때 문헌에 기록된 기존 공식들을 정확히 재현하여 연속 이론과의 일관성을 확인하였다.
• 단순체의 원추 중심 이중체는 하도스토어와 같은 메트릭에 의존하는 연산을 정의하는 데 자연스럽고 효과적인 구조를 제공한다.
• 이산 형식은 단순체 위에서, 이산 벡터장은 이중 복합체 위에서 정의될 수 있으며, 이는 이산 환경에서의 상호작용 연구를 가능하게 한다.
• 함수와 벡터장의 보간은 연속 다각형이 필요 없이도 이산 프레임워크를 향상시키는 유용하고 편리한 도구이다.
• 이론은 스터프, 리에이트 도함수, 내부 곱과 같은 이산 대응체를 포함하는 풍부한 대수적 및 기하학적 구조를 지닌다. 향후 확장을 위한 예비 아이디어가 제시되었다.
• 정규 비단순체 복합체에 대한 예비 결과는 DEC 프레임워크가 기하학적 및 조합론적 원리를 사용하여 단순체 메esh를 초월해 일반화될 수 있음을 시사한다.