[논문 리뷰] Discrete fractional Calculus and Inequalities

George A. Anastassiou|ArXiv.org|2009. 11. 17.

Numerical methods in engineering참고 문헌 3인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 명시적인 나머지 추정을 갖는 첫 번째 이산 분수계 미분의 테일러 공식을 수립하고, Caputo 유형의 이산 분수차분을 도입한다. 이는 분수합과 분수차분 연산자를 사용하여 이산 영역에서 새로운 이산 분수부등식, 즉 오스트로스키, 파oincaré 및 소볼레프 유형의 추정을 유도한다. 이는 함수 근사 및 이산 분수계 미분학에서의 오차 분석에 적용된다.

ABSTRACT

Here we define a Caputo like discrete fractional difference and we compare it to the earlier defined Riemann-Liouville fractional discrete analog. Then we produce discrete fractional Taylor formulae for the first time, and we estimate their remainders. Finally, we derive related discrete fractional Ostrowski, Poincare and Sobolev type inequalities.

연구 동기 및 목표

• Caputo 유사 이산 분수차분 연산자를 정의하고, 리만-리우빌 유형과 비교한다.
• 비정수 차수의 분수차분을 위한 나머지 추정이 포함된 첫 번째 이산 분수계 테일러 공식을 개발한다.
• 분수합과 분수차분 연산자를 사용하여 새로운 이산 분수부등식—오스트로스키, 파oincaré 및 소볼레프 유형—을 도출한다.
• 노름과 분수도함수의 가중합을 사용하여 이산 분수계 설정에서 함수에 대한 경계를 수립한다.
• 수치 해석학과 근사 이론에 적용 가능한 이산 분수계 미분학의 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• Pochhammer 기호를 사용한 이산 컨볼루션을 통한 $\nu$-번째 분수합 정의: $\Delta^{-\nu}f(t,a) = \frac{1}{\Gamma(\nu)}\sum_{s=a}^{t-\nu}(t-s-1)^{(\nu-1)}f(s)$.
• Caputo 유형의 분수차분 $\Delta_{\ast}^{\mu}f(t) = \Delta^{-\nu}(\Delta^m f(t))$ 정의, $\mu > 0$, $m = \lceil \mu \rceil$, $\nu = m - \mu$.
• 이산 분수계 테일러 공식 유도: $f(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{(t-a)^{(k)}}{k!}\Delta^k f(a) + \frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$, $t \in \mathbb{N}_{a+m}$ 에서 유효.
• 이산 헬더 부등식을 적용하여 함수의 $\ell^r$-노름을 분수도함수의 표현으로 경계한다.
• 가중합과 연산자 노름을 사용하여 $\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s)$ 와 양의 가중함수 $C_l(s)$ 를 포함하는 소볼레프 유형의 부등식을 도출한다.
• $\delta^* = \max_{1\leq l\leq k}\left\{ \frac{1}{(\Gamma(\mu_l))^2}\left[\sum_{j=a+m_l}^{b}\left(\sum_{s=a+\nu_l}^{j-\mu_l}\left((j-s-1)^{(\mu_l-1)}\right)^2\right)^{r/2}\right]^{2/r} \right\}$ 와 $\varrho^* = \max_{1\leq l\leq k}\left|\left(\frac{1}{C_l(s)}\right)\right|_{\infty,[a+\nu_l,b-\mu_l]}$ 를 통해 경계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 분수계 미분학의 프레임워크 내에서 Caputo 유형의 이산 분수차분을 일관적으로 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 비정수 차수의 분수차분을 위한 이산 분수계 테일러 전개의 나머지 항 형태는 어떻게 되는가?
• RQ3 이산 분수부등식의 오스트로스키 및 파oincaré 유형 부등식은 연속적 경우와 비교해 볼 때 경계에서 어떻게 다를까?
• RQ4 이산 간격에서 함수의 $\ell^r$-노름이 분수도함수의 가중합에 의해 유계로 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 다양한 분수차수와 가중함수를 사용하여 이산 분수계 설정에서 소볼레프 유형의 부등식을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 이산 분수계 테일러 공식 (3) 은 $t \in \mathbb{N}_{a+m}$ 에서 $f(t)$ 의 정확한 표현을 제공하며, $a$ 에서의 정수차수 차분과 Caputo 도함수의 분수적 적분으로 분해한다.
• 테일러 공식의 나머지 항은 $\frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$ 를 통해 경계되며, 이는 $\mu > 0$ 에서 수렴함을 보장한다.
• $r \geq 1$ 인 경우, $\Delta^p f$ 의 $\ell^r$-노름은 커널 노름과 $\Delta_{\ast}^\mu f$ 의 $\ell^\delta$-노름의 곱으로 경계되며, 여기서 $\delta > 1$, $1/\gamma + 1/\delta = 1$.
• 이산 분수계 오스트로스키 유형 부등식 (33) 은 $\|f\|_{r,[a+m_k,b]} \leq \sqrt{\delta^* \varrho^*} \left(\frac{\sum_{l=1}^k B_l}{k}\right)^{1/2}$ 를 유도한다. 여기서 $B_l = \sum_{s=a+\nu_l}^{b-\mu_l} C_l(s)(\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s))^2$.
• $\delta^*$ 는 이산 커널의 $L^{r/2}$-노름의 영향을 반영하며, $\varrho^*$ 는 역가중치를 제어하여 최적의 가중치 선택 하에 정밀한 추정을 가능하게 한다.
• 초기 차분 $\Delta^\tau f(a) = 0$ 이 $\tau = 0,\dots,m_k-1$ 에서 성립할 경우, 소볼레프 유형 부등식 (37) 은 $\|f\|_{r,[a+m_k,b]}$ 에 대한 통합된 경계를 $가중분수도함수$ 로 제공한다.