[논문 리뷰] Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution

Xing Ouyang, Cleitus Antony외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 02.

Orbital Angular Momentum in Optics참고 문헌 19인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 무한 주기적인 광학 격자에서 유도된 비퇴도적인 이산 프레넬 변환(DFnT)을 소개하며, 이를 바탕으로 처음으로 원형 컨볼루션 성질을 수립한다. DFnT는 변환 도메인의 곱셈을 통한 컨볼루션 연산을 가능하게 하여 탈봇 이미지 계수의 효율적 계산을 가능하게 하며, 광학 및 디지털 신호 처리 분야의 응용을 지원한다.

ABSTRACT

Discrete trigonometric transformations, such as the discrete Fourier and cosine/sine transforms, are important in a variety of applications due to their useful properties. For example, one well-known property is the convolution theorem for Fourier transform. In this letter, we derive a discrete Fresnel transform (DFnT) from the infinitely periodic optical gratings, as a linear trigonometric transform. Compared to the previous formulations of DFnT, the DFnT in this letter has no degeneracy, which hinders its mathematic applications, due to destructive interferences. The circular convolution property of the DFnT is studied for the first time. It is proved that the DFnT of a circular convolution of two sequences equals either one circularly convolving with the DFnT of the other. As circular convolution is a fundamental process in discrete systems, the DFnT not only gives the coefficients of the Talbot image, but can also be useful for optical and digital signal processing and numerical evaluation of the Fresnel transform.

연구 동기 및 목표

• 파라미터 간섭으로 인한 수학적 퇴도성으로 인해 발생하는 문제를 해결하기 위해, 파라미터 간섭이 없는 이산 프레넬 변환(DFnT)을 개발하는 것.
• DFnT의 원형 컨볼루션 정리를 유도하고 증명하여 변환 도메인에서의 효율적 신호 처리를 가능하게 하는 것.
• DFnT를 사용하여 탈봇 이미지 계수를 수학적으로 안정적인 프레임워크로 정확하게 계산할 수 있도록 하는 것.
• 이산 삼각함수 변환의 유효성을 광학 시스템 모델링 및 프레넬 변환의 수치적 평가에 확장하는 것.

제안 방법

• DFnT는 무한 주기적인 광학 격자의 물리적 모델에서 유도되어, 명확하고 퇴도성이 없는 수식을 보장한다.
• 변환은 프레넬 회절 적분의 이산 샘플링을 기반으로 한 선형 삼각함수 변환으로 정의된다.
• 원형 컨볼루션 성질은 두 수열의 원형 컨볼루션의 DFnT가 한 수열의 DFnT와 다른 수열의 DFnT의 곱과 일치함을 증명함으로써 수립된다. 이는 스케일링 인자 외에는 정확하다.
• 이론적 유도는 이산 삼각함수 변환의 성질과 주기성의 특성을 활용한 수학적 증명을 통해 뒷받침된다.
• DFnT를 통해 탈봇 이미지 계수를 정확하게 표현할 수 있음을 통해 이 프레임워크가 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 간섭으로 인한 퇴도성으로 인한 문제 없이 이산 프레넬 변환을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이산 프레넬 변환의 원형 컨볼루션 성질은 무엇이며, 푸리에 변환의 컨볼루션 정리와 비교해보면 어떠한가?
• RQ3 DFnT를 사용하여 주기적 회절 시스템에서 탈봇 이미지의 계수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 DFnT는 광학 및 디지털 신호 처리 분야에서 어떤 새로운 응용을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 DFnT는 퇴도성이 없으며, 이는 이전의 수식에서 발생하던 간섭에 의한 핵심적 한계를 해결한다.
• 원형 컨볼루션 성질이 증명되었다: 두 수열의 원형 컨볼루션의 DFnT는 한 수열과 다른 수열의 DFnT의 곱과 일치하며, 스케일링 인자 외에는 정확하다.
• DFnT를 통해 변환 도메인 연산을 직접 수행함으로써 탈봇 이미지 계수를 직접 계산할 수 있으며, 이는 프레넬 변환의 수치적 평가를 향상시킨다.
• DFnT는 푸리에 변환의 컨볼루션 정리와 유사하게 이산 시스템에서 효율적인 신호 처리를 지원한다.