[논문 리뷰] Discrete Linear Groups containing Arithmetic Groups

Indira Chatterji, T. N. Venkataramana|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 대수군 G의 자리지 조밀한 이산 부분군이 실수 계수 ≥2인 더 낮은 계수의 부분군 H에 대한 격자들을 포함할 경우, G에서의 격자임을 보장하는 조건을 설정한다. 슈퍼 리지드성과 플래그 다양체 위의 기하적 추론을 통해 이러한 부분군이 SLₙ(ℤ) 또는 Sp_g(ℤ)와 같은 산술군과 공명함을 증명하며, 마드하브 노리의 추측을 핵심 케이스에서 확인한다.

ABSTRACT

We prove in a large number of cases, that a Zariski dense discrete subgroup of a simple real algebraic group $G$ which contains a higher rank lattice is a lattice in the group $G$. For example, we show that a Zariski dense subgroup of $SL_n({\mathbb R})$ which contains $SL_3({\mathbb Z})$ in the top left hand corner, is conjugate to $SL_n({\mathbb Z})$ .

연구 동기 및 목표

• 실수 단순 비가환 리 군 G의 자리지 조밀한 이산 부분군이 더 낮은 계수의 부분군 H에 대한 격자를 포함할 경우 반드시 G에서의 격자가 되는지 여부에 대한 마드하브 노리의 추측을 해결하는 것.
• 특히 H의 실수 계수가 ≥2일 경우, 이러한 부분군 Γ ⊂ G가 산술적임을 보이는 조건을 조사하는 것.
• 더 높은 계수의 격자를 포함하는 이산 부분군에 대한 슈퍼 리지드성을 확립하고, 그 선형 표현이 막대한 군 G의 표현과 어떻게 연결되는지 밝히는 것.
• 실수 계수 1의 경우, 이러한 격자가 유한 체적의 자리지 조밀한 이산 부분군으로 확장될 수 없음을 보여주며, 이는 고계수의 경우와 대조됨.

제안 방법

• Iwasawa 분해 G = ANK를 이용하고, H가 플래그 다양체 G/P₀ 위에 작용하는 방식을 분석하며, 등장하는 이소트로피 부분군에 집중한다.
• 이산 부분군이 충분히 큰 고계수 격자를 포함할 경우, 이소트로피 부분군의 차원과 비콤팩트성 조건을 만족할 때, 일반적인 슈퍼 리지드성 정리를 적용한다.
• Bruhat 분해와 G/P₀ 위에서의 유니포텐트 흐름의 다이내믹스를 이용하여 H 내의 수열과 그가 컴팩트 부분집합에 작용하는 방식을 분석한다.
• G/P에서 H/Q의 컴팩트 이웃에 대해 핑퐁 보조정리를 적용하여, H 내의 격자 Δ의 코너정의를 포함하는 자유곱을 구성함으로써 G 내에서 자리지 조밀함을 보장한다.
• 상대 Weyl 군의 구조와 A⁺ 내의 원소에 의한 코너정의를 분석하여, 특정 수열이 H/Q에 수렴해야 한다는 것을 보이고, 집합이 비콤팩트일 경우 모순이 발생함을 밝힌다.
• Margulis의 슈퍼 리지드성 및 산술성 정리를 적용하여, 이러한 부분군이 반드시 SLₙ(ℤ) 또는 Sp_g(ℤ)와 같은 산술군과 공명함을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 계수 ≥2인 부분군 H ⊂ G 내의 격자를 포함하는 자리지 조밀한 이산 부분군 Γ ⊂ G가 반드시 G에서의 격자임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Γ가 H 내의 고계수 격자를 포함할 경우, Γ의 슈퍼 리지드성을 어떻게 확립할 수 있으며, 이는 그 선형 표현에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 왜 실수 계수 1의 경우 이러한 확장은 격자가 될 수 없으며, 어떤 기하학적 또는 다이내믹스적 장애물이 발생하는가?
• RQ4 H의 차원이 K(군 G의 최대 콤팩트 부분군)에 비해 어느 정도일 경우, Γ가 반드시 산술적임을 보장할 수 있는가?
• RQ5 H가 G/P₀ 위에 작용할 때의 이소트로피 부분군은 Γ의 구조와 유한성 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• n ≥ 4일 때, SLₙ(ℝ) 내의 자리지 조밀한 이산 부분군 Γ 중, 상단 왼쪽 모서리에 임bed된 SL₃(ℝ)과의 교차가 SL₃(ℤ)의 유한 지수 부분군인 경우, Γ는 SLₙ(ℤ)의 코너정의와 공명함을 띤다.
• g ≥ 3일 때, Sp_g(ℝ) 내의 자리지 조밀한 이산 부분군 Γ 중, Sp₂(ℝ)와의 교차가 Sp₂(ℤ)와 공명하는 경우, Γ는 Sp_g(ℤ)와 공명함을 띤다.
• 만약 dim(H) > dim(K) 이고 H ⊂ G가 실수 계수 ≥2를 갖는다면, H와의 교차가 기약 격자인 자리지 조밀한 이산 부분군 Γ ⊂ G는 마르굴리의 의미에서 슈퍼 리지드하다.
• 실수 계수 1의 경우, H(실수 계수 1) 내의 격자 Δ는 G 내의 자리지 조밀한 이산 부분군 Γ로 확장될 수 있으며, 이 경우 체적이 무한대이다. 이는 고계수 조건이 필수적임을 보여준다.
• H가 G/P₀ 위에 작용할 때 이소트로피가 모든 점에서 양의 차원을 가지며 비콤팩트일 경우, Γ에 대한 슈퍼 리지드성이 성립하며, 이는 주요 정리의 핵심 조건이다.
• 증명은 Δ의 유한 지수 부분군 Δ₀를 구성하여, gᵢΔ₀gᵢ⁻¹의 코너정의가 자유곱을 이루고 G 내에서 자리지 조밀함을 보여, 실수 계수 1 설정에서는 Γ가 격자가 될 수 없음을 입증한다.